Akýkoľvek signál je možné rozložiť na komponenty. Tento rozklad signálu sa nazýva spektrálny. V tomto prípade môže byť signál znázornený ako graf závislosti parametrov signálu od frekvencie, takýto diagram sa nazýva spektrálny diagram alebo spektrum signálu.
Spektrum signálu je súbor jednoduchých zložiek signálu s určitými amplitúdami, frekvenciami a počiatočnými fázami.
Medzi spektrom signálu a jeho tvarom existuje striktný vzťah: zmena tvaru signálu vedie k zmene jeho spektra a naopak, akákoľvek zmena spektra signálu vedie k zmene jeho tvaru. Toto je dôležité si zapamätať, pretože pri prenose signálov v prenosovom systéme prechádzajú transformáciami, čo znamená, že ich spektrá sú transformované.
Existujú dva typy spektrálnych diagramov:
— spektrálny diagram amplitúd;
— spektrálny fázový diagram.
V amplitúdovom spektrálnom diagrame sú všetky zložky zobrazené s ich amplitúdami a frekvenciami.
V spektrálnom fázovom diagrame sú všetky zložky zobrazené s ich počiatočnými fázami a frekvenciami.
Každý signál má jeden spektrálny amplitúdový diagram a jeden spektrálny fázový diagram, ktorý môže obsahovať veľa komponentov.
Bez ohľadu na to, aké je spektrum (amplitúdy alebo fázy), je zobrazené vo forme mnohých čiar - komponentov. V amplitúdovom spektre sa výška spektrálnej čiary rovná amplitúde zložky signálu a vo fázovom spektre sa rovná počiatočnej fáze zložky. Navyše: v amplitúdovom spektre majú všetky zložky kladné hodnoty a vo fázovom spektre kladné aj záporné hodnoty. Ak má amplitúda spektrálnej zložky záporné znamienko, potom sa v amplitúdovom spektre berie modulo a vo fázovom spektre sa znamienko zložky mení na opak.
Klasifikácia signálových spektier.
1. Spektrá sa líšia typom diskrétne(vládol) resp pevný.
Diskrétne spektrum je také, v ktorom možno rozlíšiť jednotlivé zložky.
Spektrum je spojité, v ktorom nie je možné rozlíšiť jednotlivé zložky, pretože sú umiestnené tak blízko, že navzájom splývajú.
2. Podľa frekvenčného rozsahu rozlíšiť spektrá obmedzené A neobmedzené.
Obmedzené spektrum je také, v ktorom je všetka energia signálu (všetky spektrálne zložky) v obmedzenom frekvenčnom rozsahu (fmax ? ?).
Neobmedzené spektrum je také, v ktorom je všetka energia signálu v neobmedzenom frekvenčnom rozsahu (fmax ? ?). V praxi sú takéto spektrá limitujúce.
Spektrálna reprezentácia periodických signálov
1. Harmonické kmitanie.
Matematický model harmonického kmitania má tvar:
u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)
Ako je zrejmé z matematického modelu, spektrum tejto vibrácie obsahuje jednu harmonickú zložku, ktorá sa nachádza na frekvencii s. Výška zložky v amplitúdovom spektre sa rovná amplitúde vibrácií Ums a vo fázovom spektre - počiatočnej fáze vibrácií. Navyše pri konštrukcii spektra je potrebné vziať do úvahy súvislosť medzi časovým diagramom signálu a amplitúdovým spektrom. Amplitúda zložky spektra musí výškovo zodpovedať amplitúde kmitania na časovom diagrame.
Treba poznamenať, že keď sa frekvencia signálu zvyšuje, jeho zložka sa bude pohybovať pozdĺž frekvenčnej osi od nuly (obrázok 13).
Obrázok 13 - Spektrálne znázornenie harmonických kmitov
Ako je zrejmé z obrázkov, spektrum harmonických vibrácií je diskrétne a obmedzené.
2. Periodické, neharmonické signály.
Hlavnou črtou spektrálnej reprezentácie takýchto signálov je prítomnosť mnohých spektrálnych zložiek v ich spektre. Takéto signály možno opísať pomocou Fourierovho radu, podľa ktorého: 
to znamená, že signál môže byť reprezentovaný súčtom konštantnej zložky a mnohých harmonických zložiek.
Transformujme tento rad pomocou trigonometrickej vlastnosti
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)
Za predpokladu, že x=?k a y=k?ct dostaneme:
Keďže Umk a?k sú parametre radu, možno ich označiť koeficientmi
Hm, hriech? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)
Potom bude séria vyzerať takto:
Parametre série je možné určiť pomocou koeficientov ak a bk:
kde k = 1, 2, 3…
Amplitúdu jednosmernej zložky a koeficientov možno určiť pomocou hodnoty signálu u(t):
Z radu vyplýva, že ak je opísaný signál párnou funkciou f(t)=f(-t), potom rad bude mať iba kosínusové zložky, keďže bk=0, ak je funkcia nepárna (f(t) ? f(-t) ), potom rad obsahuje iba sínusové zložky (ak=0).
Uvažujme o spektrálnej reprezentácii periodických, neharmonických signálov na príklade periodickej sekvencie pravouhlých impulzov (PPPS).
Pri konštrukcii spektra je potrebné vypočítať nasledujúce parametre:
a) pracovný cyklus signálu:
b) hodnota konštantnej zložky:
c) frekvencia prvej harmonickej spektra, ktorá sa rovná frekvencii signálu:
d) amplitúdy harmonických zložiek spektra:
Pri konštrukcii spektra je potrebné vziať do úvahy nasledujúce vlastnosti:
1. Všetky harmonické zložky sú na frekvenciách, ktoré sú násobkami prvej harmonickej frekvencie (2?1, 3?1, 4?1 atď.);
2. Pre amplitúdové spektrum:
a) spektrum SATR má lalokový charakter, t.j. v spektre je možné rozlíšiť veľa „lalokov“;
b) počet harmonických zložiek v laloku závisí od pracovného cyklu a je rovný q - 1;
c) amplitúdy harmonických zložiek nachádzajúcich sa na frekvenciách, ktoré sú násobkami pracovného cyklu, sú rovné nule;
d) tvar spektra je naznačený obálkou - bodkovaná čiara plynulo spájajúca vrcholy harmonických zložiek;
e) bod, z ktorého vychádza obal, sa rovná 2U0 alebo 2I0.
3. Pre fázové spektrum:
a) všetky harmonické zložky pri frekvenciách, ktoré nie sú násobkami pracovného cyklu, majú rovnakú výšku, rovnajúcu sa?/2 (90°);
b) všetky harmonické zložky v jednom okvetnom lístku majú rovnaké znamienko a v susedných majú opačné znamienko.
c) komponenty pri frekvenciách, ktoré sú násobkami pracovného cyklu, majú počiatočnú fázu rovnú nule.
Spektrá SATR s pracovným cyklom q=3 sú uvedené na obrázku 14.
Ako je zrejmé z diagramov, spektrum AEFI je diskrétne a neobmedzené. Preto sa frekvenčný rozsah, v ktorom sa nachádzajú prvé dva laloky, berie ako šírka spektra, pretože obsahujú asi 95 % energie signálu:
Fs = 2/?i. (26)
Obrázok 14 - Spektrálne znázornenie SAI: a) časový diagram; b) spektrálny diagram amplitúd; c) spektrálny fázový diagram
Ako je zrejmé zo vzorca, šírka spektra SATR závisí len od trvania impulzu a nezávisí od jeho periódy.
3. Neperiodické signály.
Pretože nie je možné rozlíšiť periódu v neperiodických signáloch, pretože T2, nie je možné vypočítať a zostrojiť spektrum pomocou rovnakej metódy ako pre periodické signály. Je však potrebné poznať spektrum takýchto signálov, keďže všetky informačné signály sú neperiodické. Na zostrojenie spektra neperiodického signálu sa vykoná nasledovný postup: signál je mentálne reprezentovaný ako periodický s ľubovoľnou periódou, pre ktorú je spektrum konštruované. Potom sa uskutoční limitný prechod, ktorý nasmeruje periódu do nekonečna (T??) (obrázok 15). V tomto prípade má frekvencia prvej harmonickej a podľa toho aj vzdialenosť medzi harmonickými zložkami tendenciu k nule (f1=1/T), takže všetky zložky navzájom splývajú a tvoria súvislé spektrum.
Obrázok 15 - Pulzný signál u(t) a jeho znázornenie ako periodický signál
Tvar spektra neperiodických signálov je označený obálkou (plná čiara) (obrázok 16).
Obrázok 16 - Spektrálny diagram neperiodického signálu
Fourierov rad pre takéto signály tiež nemožno zapísať, pretože v tomto prípade sa amplitúda konštantnej zložky a koeficienty ak a bk rovnajú nule. V tomto prípade je hodnota signálu v každom okamihu tiež nulová, čo nie je pravda. Preto sa pre tieto signály používajú Fourierove transformácie:
Výraz (27) je inverzná transformácia a (28) priama Fourierova transformácia.
Veličina S(?) je komplexná spektrálna hustota neperiodického signálu u(t). Rovná sa:
S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)
kde S(a) je spektrálna hustota amplitúd alebo amplitúdové spektrum neperiodického signálu a a(a) je fázové spektrum neperiodického signálu.
Spektrálna hustota amplitúd neperiodického signálu pri akejkoľvek frekvencii? rovná celkovej amplitúde komponentov nachádzajúcich sa v malom pásme?? v blízkosti frekvencie? prevedené na 1 Hertz.
Časové diagramy a amplitúdové spektrálne hustoty pre pravouhlé a trojuholníkové impulzy sú uvedené na obrázku 18:
Obrázok 18 - Spektrálne znázornenie neperiodických signálov: a) pravouhlý impulz; b) trojuholníkový impulz
Nie je to tak dávno, súdruh, pomocou spektrálnej analýzy je možné rozložiť určitý zvukový signál na jeho základné tóny. Trochu abstrahujme od zvuku a predpokladajme, že máme nejaký digitalizovaný signál, ktorého spektrálne zloženie chceme celkom presne určiť.
Pod rezom je stručný prehľad metódy extrakcie harmonických z ľubovoľného signálu pomocou digitálnej heterodyny a trochu špeciálnej Fourierovej mágie.
Takže, čo máme?
Súbor so vzorkami digitalizovaného signálu. Je známe, že signál je súčtom sínusoidov s vlastnými frekvenciami, amplitúdami a počiatočnými fázami a prípadne aj bielym šumom.
Čo urobíme.
Použite spektrálnu analýzu na určenie:
- počet harmonických v signáli a pre každú: amplitúdu, frekvenciu (ďalej v kontexte počtu vlnových dĺžok na dĺžku signálu), počiatočnú fázu;
- prítomnosť/neprítomnosť bieleho šumu a ak je prítomný, jeho štandardná odchýlka (štandardná odchýlka);
- prítomnosť/neprítomnosť konštantnej zložky signálu;
- dajte to všetko do krásnej PDF správy s blackjackom a ilustráciami.
Tento problém vyriešime v Jave.
Materiál
Ako som už povedal, štruktúra signálu je známa: je to súčet sínusoidov a nejakého druhu šumovej zložky. Tak sa stalo, že na analýzu periodických signálov v inžinierskej praxi vo veľkej miere využívajú výkonný matematický aparát, všeobecne označovaný ako "Fourierova analýza" . Poďme sa rýchlo pozrieť na to, čo je to za zviera.Trochu špeciálne, Fourierova mágia
Nie je to tak dávno, v 19. storočí, francúzsky matematik Jean Baptiste Joseph Fourier ukázal, že každá funkcia, ktorá spĺňa určité podmienky (kontinuita v čase, periodicita, splnenie Dirichletových podmienok), môže byť rozšírená do série, ktorá neskôr dostala jeho meno - Fourierov rad .V inžinierskej praxi je rozšírenie periodických funkcií do Fourierovho radu široko využívané, napríklad pri úlohách teórie obvodov: nesínusový vstupný efekt sa rozšíri na súčet sínusových a potrebné parametre obvodu sa vypočítajú napr. metóda superpozície.
Možností zápisu koeficientov Fourierovho radu je viacero, no potrebujeme poznať len podstatu.
Rozšírenie Fourierovho radu umožňuje rozšíriť spojitú funkciu na súčet ďalších spojitých funkcií. A vôbec, séria bude mať nekonečný počet termínov.
Ďalším vylepšením Fourierovho prístupu je integrálna transformácia jeho názvu. Fourierova transformácia
.
Na rozdiel od Fourierovho radu Fourierova transformácia nerozširuje funkciu na diskrétne frekvencie (množina frekvencií Fourierovho radu, pre ktoré je expanzia, všeobecne povedané, diskrétna), ale na spojité.
Pozrime sa, ako súvisia koeficienty Fourierovho radu s výsledkom Fourierovej transformácie, nazývanej v skutočnosti spektrum
.
Malá odbočka: spektrum Fourierovej transformácie je vo všeobecnosti komplexná funkcia, ktorá opisuje komplexné amplitúdy
zodpovedajúce harmonické. To znamená, že hodnoty spektra sú komplexné čísla, ktorých moduly sú amplitúdy zodpovedajúcich frekvencií a argumenty sú zodpovedajúce počiatočné fázy. V praxi sa posudzujú oddelene amplitúdové spektrum
A fázové spektrum
.
Ryža. 1. Korešpondencia medzi Fourierovým radom a Fourierovou transformáciou s použitím amplitúdového spektra ako príkladu.
Je ľahké vidieť, že koeficienty Fourierovej série nie sú nič iné ako hodnoty Fourierovej transformácie v diskrétnych časoch.
Fourierova transformácia však porovnáva časovo spojitú, nekonečnú funkciu s inou, frekvenčne spojitou, nekonečnou funkciou – spektrom. Čo ak nemáme funkciu, ktorá je nekonečná v čase, ale iba nejakú jej časť, ktorá je zaznamenaná a diskrétna v čase? Odpoveď na túto otázku dáva ďalší vývoj Fourierovej transformácie - diskrétna Fourierova transformácia (DFT) .
Diskrétna Fourierova transformácia je navrhnutá tak, aby vyriešila problém potreby spojitosti a nekonečna v čase signálu. V podstate veríme, že sme vystrihli určitú časť nekonečného signálu a zvyšok časovej oblasti považujeme tento signál za nulový.
Matematicky to znamená, že keď máme funkciu f(t), ktorá je nekonečná v čase, vynásobíme ju nejakou funkciou okna w(t), ktorá zmizne všade okrem časového intervalu, ktorý nás zaujíma.
Ak je „výstupom“ klasickej Fourierovej transformácie spektrum – funkcia, potom „výstupom“ diskrétnej Fourierovej transformácie je diskrétne spektrum. A na vstup sú dodávané aj vzorky diskrétneho signálu.
Zvyšné vlastnosti Fourierovej transformácie sa nemenia: môžete si o nich prečítať v príslušnej literatúre.
Potrebujeme vedieť len o Fourierovej transformácii sínusového signálu, ktorú sa pokúsime nájsť v našom spektre. Vo všeobecnosti ide o pár delta funkcií, ktoré sú symetrické okolo nulovej frekvencie vo frekvenčnej oblasti.
Ryža. 2. Amplitúdové spektrum sínusového signálu.
Už som spomenul, že vo všeobecnosti neuvažujeme o pôvodnej funkcii, ale o nejakom jej súčine s funkciou okna. Potom, ak je spektrum pôvodnej funkcie F(w) a funkcia okna je W(w), potom spektrum produktu bude taká nepríjemná operácia, ako je konvolúcia týchto dvoch spektier (F*W)( w) (Konvolučný teorém).
V praxi to znamená, že namiesto delta funkcie uvidíme v spektre niečo takéto:
Ryža. 3. Efekt šírenia spektra.
Tento efekt sa nazýva aj šírenie spektra
(angl. spektrálny únik). A hluk, ktorý sa objavuje v dôsledku šírenia spektra, podľa toho bočné laloky
(anglické bočné laloky).
Na boj proti bočným lalokom sa používajú iné, neobdĺžnikové okenné funkcie. Hlavnou charakteristikou "efektívnosti" funkcie okna je úroveň bočného laloku
(dB). Súhrnná tabuľka úrovní bočných lalokov pre niektoré bežne používané funkcie okna je uvedená nižšie.
Hlavným problémom nášho problému je, že bočné laloky môžu maskovať iné harmonické, ktoré sa nachádzajú v blízkosti.
Ryža. 4. Samostatné harmonické spektrá.
Je vidieť, že pri sčítaní daných spektier sa slabšie harmonické akoby rozplynú v silnejšom.
Ryža. 5. Jasne viditeľná je len jedna harmonická. Nie dobré.
Ďalším prístupom k boju proti šíreniu spektra je odpočítať od signálu harmonické, ktoré vytvárajú toto šírenie.
To znamená, že keď stanovíme amplitúdu, frekvenciu a počiatočnú fázu harmonickej, môžeme ju od signálu odčítať, pričom zároveň odstránime zodpovedajúcu „funkciu delta“ a spolu s ňou aj ňou generované bočné laloky. Ďalšou otázkou je, ako presne zistiť parametre požadovanej harmonickej. Nestačí jednoducho prevziať požadované údaje z komplexnej amplitúdy. Komplexné amplitúdy spektra sa tvoria na celých frekvenciách, avšak nič nebráni tomu, aby harmonická mala zlomkovú frekvenciu. V tomto prípade sa zdá, že komplexná amplitúda sa rozmazáva medzi dvoma susednými frekvenciami a jej presnú frekvenciu, podobne ako ostatné parametre, nemožno určiť.
Na stanovenie presnej frekvencie a komplexnej amplitúdy požadovanej harmonickej použijeme techniku široko používanú v mnohých odvetviach inžinierskej praxe - heterodynizácia .
Pozrime sa, čo sa stane, ak vynásobíme vstupný signál komplexnou harmonickou Exp(I*w*t). Spektrum signálu sa posunie o hodnotu w doprava.
Túto vlastnosť využijeme tak, že budeme posúvať spektrum nášho signálu doprava, kým harmonická nezačne ešte viac pripomínať funkciu delta (to znamená, kým nejaký lokálny pomer signálu k šumu nedosiahne maximum). Potom budeme schopní vypočítať presnú frekvenciu požadovanej harmonickej, ako w 0 – w het, a odčítať ju od pôvodného signálu, aby sme potlačili efekt šírenia spektra.
Ilustrácia variácie spektra v závislosti od frekvencie lokálneho oscilátora je uvedená nižšie.
Ryža. 6. Typ amplitúdového spektra v závislosti od frekvencie lokálneho oscilátora.
Popísané postupy budeme opakovať dovtedy, kým nevystrihneme všetky prítomné harmonické a spektrum nám nebude pripomínať spektrum bieleho šumu.
Potom musíme odhadnúť smerodajnú odchýlku bieleho šumu. Nie sú tu žiadne triky: na výpočet štandardnej odchýlky môžete jednoducho použiť vzorec:
Automatizujte to
Je čas zautomatizovať harmonickú extrakciu. Zopakujme si algoritmus ešte raz:1. Hľadáme globálny vrchol v amplitúdovom spektre, nad určitou hranicou k.
1.1 Ak ste to nenašli, poďme do konca
2. Zmenou frekvencie lokálneho oscilátora hľadáme hodnotu frekvencie, pri ktorej sa dosiahne maximum určitého lokálneho pomeru signálu k šumu v určitej blízkosti vrcholu.
3. V prípade potreby zaokrúhlite hodnoty amplitúdy a fázy.
4. Odpočítajte od signálu harmonickú s zistenou frekvenciou, amplitúdou a fázou mínus frekvencia lokálneho oscilátora.
5. Prejdite na bod 1.
Algoritmus nie je zložitý a vyvstáva jediná otázka, kde získať prahové hodnoty, nad ktorými budeme hľadať harmonické?
Na zodpovedanie tejto otázky je potrebné posúdiť hladinu hluku pred odstránením harmonických.
Zostrojme distribučnú funkciu (ahoj, matematická štatistika), kde os x bude amplitúda harmonických a zvislá os bude počet harmonických, ktoré svojou amplitúdou neprekročia práve túto hodnotu argumentu. Príklad takejto skonštruovanej funkcie:
Ryža. 7. Harmonická distribučná funkcia.
Teraz zostrojíme aj funkciu – hustotu rozloženia. To znamená hodnoty konečných rozdielov od distribučnej funkcie.
Ryža. 8. Hustota harmonickej distribučnej funkcie.
Úsečka maximálnej hustoty distribúcie je amplitúda harmonickej, ktorá sa v spektre vyskytuje najviackrát. Posuňme sa o určitú vzdialenosť od vrcholu doprava a úsečku tohto bodu považujme za odhad hladiny šumu v našom spektre. Teraz to môžete automatizovať.
Pozrite sa na kúsok kódu, ktorý detekuje harmonické v signáli
verejný ArrayList
Praktická časť
Netvrdím, že som odborník na Javu a prezentované riešenie môže byť otázne ako z hľadiska výkonu a spotreby pamäte, tak aj všeobecne filozofie Java a filozofie OOP, bez ohľadu na to, ako veľmi sa ho snažím vylepšiť. Bol napísaný za pár večerov ako dôkaz konceptu. Záujemcovia sa môžu zoznámiť so zdrojovým kódom na V predchádzajúcich častiach sme skúmali rozšírenie periodických signálov do Fourierovho radu a tiež sme študovali niektoré vlastnosti Fourierovho radu reprezentácie periodických signálov. Povedali sme, že periodické signály môžu byť reprezentované ako séria komplexných exponenciál, ktoré sú od seba vzdialené o frekvenciu rad/s, kde je perióda opakovania signálu. Výsledkom je, že reprezentáciu signálu vo forme série komplexných harmonických môžeme interpretovať ako komplexné spektrum signálu. Komplexné spektrum možno rozdeliť na amplitúdové a fázové spektrá periodického signálu.V tejto časti budeme uvažovať o spektre periodickej sekvencie pravouhlých impulzov, ako o jednom z najdôležitejších signálov používaných v praktických aplikáciách.
Spektrum periodickej sekvencie pravouhlých impulzov
Vstupný signál nech je periodická sekvencia pravouhlých impulzov s amplitúdou , trvanie sekúnd nasleduje po perióde sekúnd, ako je znázornené na obrázku 1
Obrázok 1. Periodická sekvencia pravouhlých impulzov
Jednotka merania amplitúdy signálu závisí od fyzikálneho procesu, ktorý signál popisuje. Môže to byť napätie, prúd alebo akákoľvek iná fyzikálna veličina s vlastnou jednotkou merania, ktorá sa v priebehu času mení ako . V tomto prípade sa jednotky merania amplitúd spektra , , budú zhodovať s jednotkami merania amplitúdy pôvodného signálu.
Potom spektrum , , tohto signálu môže byť reprezentované ako:
.
Vlastnosti spektra periodickej sekvencie pravouhlých impulzov
Uvažujme o niektorých vlastnostiach spektrálnej obálky periodickej sekvencie pravouhlých impulzov.
Konštantnú zložku obálky možno získať ako limit:
Na odhalenie neistoty používame L'Hopitalovo pravidlo:
Kde sa nazýva pracovný cyklus impulzov a udáva pomer periódy opakovania impulzu k trvaniu jedného impulzu.
Hodnota obálky pri nulovej frekvencii sa teda rovná amplitúde impulzu vydelenej pracovným cyklom. Keď sa pracovný cyklus zvyšuje (t. j. keď sa trvanie impulzu skracuje pri pevnej perióde opakovania), hodnota obálky pri nulovej frekvencii klesá.
Pomocou pracovného cyklu impulzov možno výraz (1) prepísať ako:
Nuly spektrálnej obálky sekvencie pravouhlých impulzov možno získať z rovnice:
Ako sme však zistili vyššie, menovateľ sa dostane na nulu len vtedy, keď 
, potom bude riešenie rovnice
Potom obálka zmizne, ak
Obrázok 2 ukazuje obálku spektra periodickej sekvencie pravouhlých impulzov (prerušovaná čiara) a frekvenčné vzťahy medzi obálkou a diskrétnym spektrom.
Obrázok 2. Spektrum periodickej sekvencie pravouhlých impulzov
Zobrazená je aj amplitúdová obálka, amplitúdové spektrum, ako aj fázová obálka a fázové spektrum.Z obrázku 2 môžete vidieť, že fázové spektrum nadobúda hodnoty, keď má obálka záporné hodnoty. Všimnite si, že a zodpovedajú rovnakému bodu komplexnej roviny rovnajúcej sa .
Príklad spektra periodickej sekvencie pravouhlých impulzov
Vstupný signál nech je periodická sekvencia pravouhlých impulzov s amplitúdou, po ktorých nasleduje perióda druhého a rôzneho pracovného cyklu. Obrázok 3a ukazuje časové oscilogramy týchto signálov, ich amplitúdové spektrá (obrázok 3b), ako aj spojité obálky spektier (prerušovaná čiara).
Obrázok 3. Spektrum periodickej sekvencie pravouhlých impulzov pri rôznych hodnotách pracovného cyklu
a - časové oscilogramy; b - amplitúdové spektrum
Ako je možné vidieť na obrázku 3, ako sa pracovný cyklus signálu zvyšuje, trvanie impulzu sa znižuje, obálka spektra sa rozširuje a amplitúda klesá (prerušovaná čiara). V dôsledku toho sa zvyšuje počet harmonických zložiek spektra v hlavnom laloku.
Spektrum časovo posunutej periodickej sekvencie pravouhlých impulzov
Vyššie sme podrobne študovali spektrum periodickej sekvencie pravouhlých impulzov pre prípad, keď bol pôvodný signál symetrický vzhľadom na . V dôsledku toho je spektrum takéhoto signálu reálne a je dané výrazom (1). Teraz sa pozrieme na to, čo sa stane so spektrom signálu, ak posunieme signál v čase, ako je znázornené na obrázku 4.
Obrázok 4. Časovo posunutá periodická sekvencia pravouhlých impulzov
Ofsetový signál si možno predstaviť ako signál oneskorený o polovicu trvania impulzu 
. Spektrum posunutého signálu môže byť reprezentované podľa vlastnosti cyklického časového posunu ako:
Spektrum periodickej sekvencie pravouhlých impulzov, posunuté vzhľadom na nulu, teda nie je čisto reálnou funkciou, ale získava dodatočný fázový faktor. 
. Amplitúdové a fázové spektrá sú znázornené na obrázku 5.
Obrázok 5. Amplitúdové a fázové spektrá časovo posunutej periodickej sekvencie pravouhlých impulzov
Z obrázku 5 vyplýva, že posun periodického signálu v čase nemení amplitúdové spektrum signálu, ale pridáva k fázovému spektru signálu lineárnu zložku.
závery
V tejto časti sme získali analytický výraz pre spektrum periodickej sekvencie pravouhlých impulzov.
Skúmali sme vlastnosti spektrálnej obálky periodickej sekvencie pravouhlých impulzov a uviedli príklady spektier pri rôznych hodnotách pracovného cyklu.
Spektrum bolo brané do úvahy aj vtedy, keď bola sekvencia pravouhlých impulzov posunutá v čase a ukázalo sa, že časový posun mení fázové spektrum a neovplyvňuje amplitúdové spektrum signálu.
Moskva, Sovietsky rozhlas, 1977, 608 s.Dötsch, G. Sprievodca praktickou aplikáciou Laplaceovej transformácie. Moskva, Nauka, 1965, 288 s.
Súbor harmonických, ktoré tvoria Fourierov rad (4.10) v trigonometrickom tvare, sa nazýva spektrum periodického signálu a množiny amplitúd Umk a počiatočné fázy týchto harmonických - spektrá amplitúdy a fázy. Každá harmonická:
možno zobraziť pomocou dvoch zvislých čiar. Aby ste to dosiahli, na jednej frekvenčnej osi je potrebné vykresliť frekvenčnú hodnotu tejto harmonickej a nakresliť zvislú čiaru s výškou rovnajúcou sa amplitúde harmonickej, potom na druhej frekvenčnej osi na frekvencii tej istej harmonickej. druhá vertikálna čiara rovnajúca sa výške počiatočnej fáze harmonickej.
Fourierov rad (4.3) je možné prepísať ako
Berúc do úvahy, že funkcia kosínus je periodická s bodkou 2 = 360°, t.j. jeho hodnoty sa opakujú každých 360°; od fázy harmonických zložiek je možné odčítať celý počet periód. Potom dostaneme inú formu série písania (4.3):
Tieto série je možné znázorniť graficky. Harmonické zložky tohto signálu, zahrnuté vo vzorci (4.3), sú znázornené v časových diagramoch na obr. 4.1, b-d.Ďalší spôsob, ako graficky znázorniť zložky Fourierovho radu pre signál na obr. 4.1 a znázornené na obr. 4,5, A–V. Harmonické amplitúdy klesajú podľa zákona , Kde P- počet harmonických a fázy harmonických sa menia podľa zákona n kde je fáza prvej harmonickej.
Pre periodickú sekvenciu pravouhlých impulzov posunutých o štvrtinu periódy (obr. 4.3, A) vzorec Fourierovho radu (4.6) možno upraviť, ak si zapamätáme, že znamienko mínus pred harmonickým kmitom znamená fázovú rotáciu kmitania o 180°:
Ryža. 4.5. Amplitúdy a fázy harmonických signálov (4.12) a (4.13)
Počiatočné fázy kmitov v sérii (4.14) striedavo nadobúdajú hodnoty 0 a 180°. Grafické znázornenie série (4.14) je uvedené na obr. 4.5, a a b.
Vertikálne čiary na obr. Boli pomenované 4.5 a 4.6 spektrálne čiary, a množiny týchto čiar, alebo, čo je to isté, množiny fázových harmonických amplitúd v (4.10), tvoria amplitúdové a fázové spektrá tohto signálu.
Ryža. 4.6. Amplitúdy a fázy harmonických signálov (4.14)
Rádioví inžinieri poznajú prístroje - spektrálne analyzátory, ktoré reagujú na každú harmonickú, ktorá je súčasťou signálu zložitého tvaru a umožňujú ich meranie.
Amplitúdové spektrum je teda súborom harmonických amplitúd , , , ... (vrátane konštantných a základných zložiek) zahrnuté vo Fourierovom rade, zapísané v trigonometrickej forme (4.10) a fázové spektrum je súbor počiatočných fáz,, ... týchto harmonických. Komplexné amplitúdy z (4.12) tvoria komplexné spektrum signálu u(t).
Analýza spektrálneho (harmonického) zloženia periodických signálov je výpočet amplitúd a počiatočných fáz harmonických zložiek Fourierovho radu. Na výpočet týchto veličín sa zvyčajne používa forma zápisu Fourierovho radu (4.2):
Ukážme, že forma zápisu (4.15) ekvivalent forma zápisu (4.7).
Z vyššie uvedenej úvahy vyplýva, že na analýzu spektrálneho zloženia signálu stačí vedieť vypočítať veličiny , U" mn A U’ mn vo výraze (4.15).
Zo vzorcov (4.2) vieme, že konštantná zložka radu sa vypočíta ako priemerná hodnota funkcie:
Odds U" mk A U"" mk vypočítané ako vážené priemery s váhami cos k respektíve hriech:
Pretože, 
To
Pomocou Eulerovho vzorca
Nakoniec získame výraz pre komplexné spektrum signálu:
Spektrum signálu je ovplyvnené nielen tvarom signálu, ale aj jeho parametrami. Najlepšie je zvážiť tento efekt na konkrétnom príklade a najjednoduchšie na príklade periodickej sekvencie pravouhlých impulzov. V pomerne všeobecnom prípade je táto sekvencia znázornená na obr. 4,7, A. Je indikovaná perióda opakovania pulzu T", a pomer periódy k trvaniu impulzu sa nazýva pracovný cyklus a určiť.
Výpočet koeficientov Fourierovho radu v trigonometrickom tvare pomocou vzorcov (4.16) - (4.18) nás vedie k zadávaniu (pozri tabuľku 4.1)
Kde U 0 =U/ q A
Ryža. 4.7. Periodická sekvencia pravouhlých impulzov s pracovným cyklom q= 3 a jeho spektrum
Amplitúdové spektrum takejto periodickej sekvencie s pracovným cyklom q= 3 je znázornené na obr. 4,7, b.
S hodnotami k, násobky pracovného cyklu q pulzná sekvencia, funkcia nadobúda nulové hodnoty a harmonické s týmito číslami majú nulové amplitúdy (v našom príklade s k= 3, 6, 9, ...). Frekvencia prvej harmonickej je určená vzorcom
Pre harmonické s číslami k, pre ktoré je amplitúda kladná, fázový uhol je nulový; pre harmonické s číslami k, pre ktorú sa hodnota ukáže ako negatívna, fázový uhol nadobúda hodnotu 180° (obr. 4.7, c).
Uvažujme vplyv na spektrum sekvencie pravouhlých impulzov takých parametrov, ako je perióda a trvanie impulzu.
Frekvencia základnej harmonickej závisí predovšetkým od periódy, t.j. jeho umiestnenie v spektre. Ak napríklad zvýšime periódu sekvencie impulzov (obr. 4.7, A), potom sa frekvencia prvej harmonickej zníži.
To povedie k zhrubnutiu spektrálnych čiar (obr. 4.8, b A V). Pracovný cyklus impulzov sa tiež zvýši so zvyšujúcou sa periódou (v našom príklade q= 5), teda harmonické s vyššími číslami, násobky q (k= 5, 10, 15, ...). Amplitúdy všetkých harmonických sa znížia.
Ryža. 4.8. Postupnosť pravouhlých impulzov s pracovným cyklom q= 5 a jeho spektrum
Na druhej strane, ak sa sekvenčná perióda ponechá nezmenená (napríklad ) a trvanie impulzu sa napríklad zníži (napríklad na hodnotu , ako na obr. 4,9, A), potom prvá harmonická nezmení svoje umiestnenie v spektre signálu. Ako sa pracovný cyklus zvyšuje, harmonické s číslami, ktoré sú nimi deliteľné, budú nulové, ako predtým. q (na obr. 4.8, b pri k= 5,10,15,… ).
Ryža. 4.9. Vplyv trvania impulzu na spektrum signálu
Ryža. 4.10. Vplyv trvania impulzu a periódy opakovania na spektrum signálu
Na obr. 4.10 ukazuje prípad, kedy sa zmenila perióda aj trvanie impulzu. Pozývame čitateľov, aby si túto situáciu sami analyzovali. Príklady riešenia úloh na výpočet periodických signálov sú tiež uvedené v.
Hoci sme analyzovali skôr konkrétne príklady, charakteristické správanie sa spektra je pozorované aj pre iné typy periodických impulzných sekvencií. Pozostáva z nasledovného:
Ako sa sekvenčné obdobie zvyšuje T frekvencia prvej harmonickej klesá a spektrálne čiary sú hustejšie; naopak, s klesajúcou periódou sa frekvencia prvej harmonickej zvyšuje a spektrálne čiary sa stávajú zriedkavejšie;
Čím kratšie sú impulzy v sekvencii, tým pomalšie klesajú so zvyšujúcim sa počtom P harmonické amplitúdy; naopak, čím sú impulzy širšie, tým rýchlejšie klesajú amplitúdy vyšších harmonických.
Hlavné ustanovenia materiálov uvedených v článku 4.2.
) sme sa zoznámili s konceptom harmonický (sínusový) funkcie. Existujú nejaké neharmonické funkcie a signály a ako s nimi pracovať? Toto musíme dnes vyriešiť :)
Harmonické a neharmonické signály.
A najprv sa pozrime bližšie na to, ako sú signály klasifikované. V prvom rade nás zaujímajú harmonické signály, ktorých tvar sa po určitom časovom intervale, nazývanom perióda, opakuje. Pravidelné signály sa zasa delia na dve veľké triedy – harmonické a neharmonické. Harmonický signál je signál, ktorý možno opísať nasledujúcou funkciou:
Tu je amplitúda signálu, cyklická frekvencia a počiatočná fáza. Môžete sa opýtať - čo sínus? Nie je sínusoida harmonickým signálom? Samozrejme, je to tak, faktom je, že signály sa líšia v počiatočnej fáze, respektíve sínusový signál nie je v rozpore s definíciou, ktorú sme uviedli pre harmonické oscilácie :)
Druhou podtriedou periodických signálov sú neharmonické vibrácie. Tu je príklad neharmonického signálu:
Ako vidíte, napriek „neštandardnému“ tvaru zostáva signál periodický, to znamená, že jeho tvar sa opakuje po časovom intervale, ktorý sa rovná perióde.
Na prácu s takýmito signálmi a ich štúdium existuje určitá technika, ktorá spočíva v rozklade signálu na Fourierov rad. Podstatou techniky je, že neharmonický periodický signál (ak sú splnené určité podmienky) môže byť reprezentovaný ako súčet harmonických kmitov s určitými amplitúdami, frekvenciami a počiatočnými fázami. Dôležitou nuansou je, že všetky harmonické kmity, ktoré sa zúčastňujú súčtu, musia mať frekvencie, ktoré sú násobkami frekvencie pôvodného neharmonického signálu. Možno to ešte nie je úplne jasné, tak sa pozrime na praktický príklad a pochopme ho trochu podrobnejšie :) Napríklad používame signál, ktorý je znázornený na obrázku vyššie. Môže byť reprezentovaný nasledovne:
Ukážme všetky tieto signály na jednom grafe:
Funkcie sa volajú harmonické signál a nazýva sa ten, ktorého perióda sa rovná perióde neharmonického signálu prvá alebo základná harmonická. V tomto prípade je prvá harmonická funkcia (jej frekvencia sa rovná frekvencii skúmaného neharmonického signálu, preto sú ich periódy rovnaké). A funkcia nie je nič iné ako druhá harmonická signálu (jeho frekvencia je dvakrát vyššia). Vo všeobecnom prípade sa neharmonický signál rozloží na nekonečný počet harmonických:
V tomto vzorci je amplitúda a je počiatočná fáza k-tej harmonickej. Ako sme spomenuli trochu skôr, frekvencie všetkých harmonických sú násobky frekvencie prvej harmonickej, v skutočnosti to vidíme v tomto vzorci 🙂 - toto je nulová harmonická, jej frekvencia je 0, rovná sa priemerná hodnota funkcie za dané obdobie. Prečo priemerný? Pozrite sa - priemerná hodnota funkcie sínus za dané obdobie sa rovná 0, čo znamená, že pri priemerovaní v tomto vzorci sa všetky členy okrem budú rovnať 0.
Množina všetkých harmonických zložiek neharmonického signálu sa nazýva spektrum tento signál. Rozlišuje sa fázové a amplitúdové spektrum signálu:
- fázové spektrum signálu – súbor počiatočných fáz všetkých harmonických
- amplitúdové spektrum signálu - amplitúdy všetkých harmonických, ktoré tvoria neharmonický signál
Pozrime sa bližšie na amplitúdové spektrum. Na vizuálne zobrazenie spektra sa používajú diagramy, ktoré sú súborom zvislých čiar určitej dĺžky (dĺžka závisí od amplitúdy signálov). Harmonické frekvencie sú vynesené na vodorovnej osi diagramu:
Horizontálna os môže zobrazovať obe frekvencie v Hz a jednoducho počty harmonických, ako v tomto prípade. A pozdĺž vertikálnej osi - amplitúdy harmonických, tu je všetko jasné :). Zostavme si amplitúdové spektrum signálu pre neharmonické kmitanie, ktoré sme považovali za príklad na samom začiatku článku. Dovoľte mi pripomenúť, že rozšírenie Fourierovej série vyzerá takto:
Máme dve harmonické, ktorých amplitúdy sa rovnajú 2 a 1,5. Preto sú v diagrame dve čiary, ktorých dĺžky zodpovedajú amplitúdam harmonických kmitov.
Fázové spektrum signálu je konštruované podobným spôsobom, len s tým rozdielom, že sa používajú počiatočné fázy harmonických, nie amplitúdy.
Takže sme prišli na konštrukciu a analýzu amplitúdového spektra signálu, prejdime k ďalšej téme dnešného článku - konceptu amplitúdovo-frekvenčnej odozvy.
Amplitúdovo-frekvenčná odozva (AFC).
Frekvenčná charakteristika je najdôležitejšou charakteristikou mnohých obvodov a zariadení - filtrov, zosilňovačov zvuku atď. Aj jednoduché slúchadlá majú svoju vlastnú amplitúdovo-frekvenčnú charakteristiku. čo to ukazuje?
Frekvenčná charakteristika je závislosť amplitúdy výstupného signálu od frekvencie vstupného signálu.
Ako sme zistili v prvej časti článku, neharmonický periodický signál možno rozšíriť do Fourierovho radu. Teraz nás však zaujíma predovšetkým zvukový signál a vyzerá takto: 
Ako vidíte, nehovoríme tu o žiadnej periodicite :) Ale, našťastie, existujú špeciálne algoritmy, ktoré vám umožňujú reprezentovať zvukový signál vo forme spektra frekvencií, ktoré sú v ňom zahrnuté. Tieto algoritmy teraz nebudeme podrobne analyzovať, toto je téma na samostatný článok, jednoducho akceptujeme skutočnosť, že nám umožňujú vykonať takúto transformáciu pomocou zvukového signálu :)
Podľa toho môžeme zostaviť diagram amplitúdového spektra zvukového signálu. A po prechode cez akýkoľvek okruh (napríklad cez slúchadlá pri prehrávaní zvuku) sa signál zmení. Takže amplitúdovo-frekvenčná charakteristika len ukazuje, aké zmeny podstúpi vstupný signál pri prechode konkrétnym obvodom. Poďme diskutovať o tomto bode trochu podrobnejšie...
Takže na vstupe máme sériu harmonických. Amplitúdovo-frekvenčná charakteristika ukazuje, ako sa mení amplitúda konkrétnej harmonickej pri prechode obvodom. Zoberme si príklad frekvenčnej odozvy:
Poďme na to krok za krokom, čo je tu zobrazené... Začnime s osami grafu frekvenčnej odozvy. Na osi y vynesieme hodnotu výstupného napätia (alebo zosilnenia, ako na tomto obrázku). Zosilnenie zadáme v dB, hodnota rovná 0 dB zodpovedá zisku 1 krát, to znamená, že amplitúda signálu zostáva nezmenená. Os x predstavuje frekvencie vstupného signálu. V uvažovanom prípade sa teda pre všetky harmonické, ktorých frekvencie ležia v rozsahu od 100 do 10 000 Hz, amplitúda nezmení. A signály všetkých ostatných harmonických budú oslabené.
Frekvencie a sú na grafe vyznačené samostatne - ich charakteristickou črtou je, že harmonický signál týchto frekvencií bude zoslabený 1,41-krát (3 dB) v napätí, čo zodpovedá 2-násobnému poklesu výkonu. Frekvenčné pásmo medzi a sa nazýva priepustné pásmo. Nastáva nasledujúca situácia: signály všetkých harmonických, ktorých frekvencie ležia v šírke pásma zariadenia/obvodu, budú zoslabené menej ako 2-násobkom výkonu.
Frekvenčný rozsah audio zariadení sa zvyčajne delí na nízke, stredné a vysoké frekvencie. Vyzerá to zhruba takto:
- 20 Hz – 160 Hz – nízkofrekvenčná oblasť
- 160 Hz – 1,28 KHz – stredná frekvenčná oblasť
- 1,28 KHz – 20,5 KHz – oblasť vysokých frekvencií
Presne s touto terminológiou sa bežne stretávame v rôznych programoch ekvalizérov používaných na úpravu zvuku. Teraz viete, že krásne grafy z takýchto programov sú presne tie amplitúdovo-frekvenčné charakteristiky, s ktorými sme sa stretli v dnešnom článku :)
Na konci článku sa pozrime na niekoľko frekvenčných odoziev získaných v softvérovom ekvalizéri:
Tu môžeme vidieť amplitúdovo-frekvenčnú odozvu zosilňovača. Navyše budú zosilnené hlavne stredné frekvencie.
Tu je ale situácia úplne iná – zosilňujú sa nízke a vysoké frekvencie a v stredofrekvenčnej oblasti pre harmonické s frekvenciou 500 Hz pozorujeme výrazný útlm.
Ale tu sú zosilnené len nízke frekvencie. Audio zariadenie s takouto frekvenčnou charakteristikou bude mať vysokú úroveň basov :)
Týmto končíme náš dnešný článok, ďakujeme za pozornosť a tešíme sa na opätovné stretnutie na našej stránke!
