จากมุมมองทางกายภาพ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะแสดงลักษณะความสัมพันธ์หรือการพึ่งพาซึ่งกันและกันของค่าทันทีสองค่าของสัญญาณที่แตกต่างกันหนึ่งหรือสองสัญญาณในบางครั้ง และ . ในกรณีแรกฟังก์ชันสหสัมพันธ์มักเรียกว่าความสัมพันธ์อัตโนมัติและในกรณีที่สอง - ความสัมพันธ์ข้าม ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการที่กำหนดขึ้นอยู่กับเท่านั้น
หากได้รับสัญญาณแล้วฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:
- ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ข้าม; (2.66)
- ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติ (2.67)
ถ้า และ เป็นสัญญาณสองช่วงที่มีช่วงเวลาเดียวกัน ตเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันสหสัมพันธ์นั้นมีคาบกับคาบด้วย ตจึงสามารถขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้
อันที่จริง ถ้าเราขยายสัญญาณในนิพจน์ (2.66) ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ เราก็จะได้
(2.68)
ที่ไหน และ เป็นแอมพลิจูดที่ซับซ้อน nฮาร์มอนิกของสัญญาณและตามลำดับคือคอนจูเกตเชิงซ้อนสัมประสิทธิ์ด้วย ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามสามารถพบได้เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์
. (2.69)
การขยายความถี่ของฟังก์ชันออโตคอร์เรเลชันสามารถหาได้ง่ายจากสูตร (2.68) และ (2.69) โดยใส่ 
, แล้ว
. (2.70)
และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
, (2.71)
ดังนั้นฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติจึงเป็นแบบคู่และด้วยเหตุนี้
. (2.72)
ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติทำให้สามารถขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติในโคไซน์ได้
ในกรณีพิเศษ สำหรับ เราได้รับ:
.
ดังนั้น ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติที่ แสดงถึงกำลังเฉลี่ยรวมของสัญญาณคาบ ซึ่งเท่ากับผลรวมของกำลังเฉลี่ยของฮาร์โมนิกทั้งหมด
การแสดงความถี่ของสัญญาณพัลส์
ในการสนทนาครั้งก่อน สันนิษฐานว่าสัญญาณมีความต่อเนื่อง แต่ในการประมวลผลข้อมูลอัตโนมัติ มักใช้สัญญาณพัลส์ เช่นเดียวกับการแปลงสัญญาณต่อเนื่องเป็นสัญญาณพัลส์ สิ่งนี้ต้องพิจารณาถึงประเด็นการแสดงความถี่ของสัญญาณพัลส์
ลองพิจารณารูปแบบของการแปลงสัญญาณต่อเนื่องเป็นรูปแบบพัลส์ดังแสดงในรูปที่ 2.6a
|
ปล่อยให้สัญญาณต่อเนื่องมาถึงอินพุตของโมดูเลเตอร์พัลส์ (รูปที่ 2.6b) โมดูเลเตอร์พัลส์จะสร้างลำดับของพัลส์เดี่ยว (รูปที่ 2.6c) ด้วยคาบ ตและระยะเวลาของชีพจร ที, และ . แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของลำดับพัลส์ดังกล่าวสามารถอธิบายได้ว่าเป็นฟังก์ชัน:
(2.74)
ที่ไหน เค- หมายเลขพัลส์ตามลำดับ
สัญญาณเอาท์พุตของโมดูเลเตอร์พัลส์ (รูปที่ 2.6d) สามารถแสดงเป็น:
.
ในทางปฏิบัติ ควรมีการแสดงความถี่ของพัลส์เทรน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นอนุกรมฟูริเยร์เป็นงวดได้:
, (2.75)
- ค่าสัมประสิทธิ์สเปกตรัมของการขยายตัวเป็นอนุกรมฟูริเยร์ (2.76)
ความถี่การทำซ้ำของพัลส์
n- หมายเลขฮาร์มอนิก
การแทนที่ความสัมพันธ์ (2.74) ลงในนิพจน์ (2.76) เราพบว่า:
.
แทน (2.76) ลงใน (2.74) เราจะได้:
(2.78)
งั้นลองแปลงผลต่างของไซน์กัน
. (2.79)
เรามาแนะนำการกำหนดเฟสกันดีกว่า nฮาร์โมนิคส์
. (2.81)
ดังนั้นลำดับของพัลส์เดี่ยวจึงประกอบด้วยฮาร์โมนิกจำนวนอนันต์พร้อมกับแอมพลิจูดที่ลดลงพร้อมกับส่วนประกอบคงที่ แอมพลิจูด เคฮาร์มอนิกที่ th ถูกกำหนดจากนิพจน์:
การประมวลผลสัญญาณดิจิตอลเกี่ยวข้องกับการสุ่มตัวอย่างเวลา (การหาปริมาณ) นั่นคือการแปลงสัญญาณต่อเนื่องเป็นลำดับของพัลส์สั้น ดังที่แสดงไว้ข้างต้น รถไฟพัลส์ใดๆ มีสเปกตรัมที่ค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นจึงเกิดคำถามตามธรรมชาติว่ากระบวนการสุ่มตัวอย่างเวลาส่งผลต่อสเปกตรัมความถี่ของสัญญาณต่อเนื่องดั้งเดิมอย่างไร
เพื่อศึกษาปัญหานี้ ให้พิจารณาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการสุ่มตัวอย่างเวลาที่แสดงในรูปที่ 2.7a
พัลส์โมดูเลเตอร์ (PM) จะแสดงเป็นโมดูเลเตอร์ที่มีพาหะในรูปแบบของลำดับในอุดมคติของพัลส์ที่สั้นมาก (ลำดับ ง-ฟังก์ชั่น) ระยะเวลาการทำซ้ำซึ่งเท่ากับ ต(รูปที่ 2.7b)
รับสัญญาณต่อเนื่องที่อินพุตของโมดูเลเตอร์พัลส์ (รูปที่ 2.7c) และสร้างสัญญาณพัลส์ที่เอาต์พุต (รูปที่ 2.7d)
| |
จากนั้นโมเดลลำดับในอุดมคติ ง-ฟังก์ชั่นสามารถอธิบายได้ด้วยนิพจน์ต่อไปนี้
ฟังก์ชันความสัมพันธ์ของสัญญาณเป็นลักษณะชั่วคราว
ให้แนวคิดเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณเมื่อเวลาผ่านไปตลอดจนระยะเวลาของสัญญาณโดยไม่แยกออกเป็นส่วนประกอบฮาร์มอนิก
มีฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติและความสัมพันธ์ข้าม สำหรับสัญญาณที่กำหนด f(t) ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติจะได้รับจาก
ขนาดของการเปลี่ยนเวลาของสัญญาณคือที่ไหน
กำหนดลักษณะระดับของการเชื่อมต่อ (สหสัมพันธ์) ของสัญญาณ f (t) กับมัน
สำเนาเลื่อนไปตามจำนวนตามแกนเวลา เรามาสร้างฟังก์ชันออโตคอร์เรเลชั่น (ACF) สำหรับพัลส์สี่เหลี่ยม f (t) กัน สัญญาณจะเลื่อนไปทางด้านนำ ดังแสดงในรูป 6.25.
บนกราฟ แต่ละค่าจะสอดคล้องกับผลิตภัณฑ์และพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ตัวเลข
ค่าของพื้นที่ดังกล่าวสำหรับ τ ที่สอดคล้องกันให้พิกัดของฟังก์ชัน
เมื่อ τ เพิ่มขึ้น ก็จะลดลง (ไม่จำเป็นต้องซ้ำซากจำเจ) และด้วย
นั่นคือมากกว่าระยะเวลาของสัญญาณจะเป็นศูนย์
เป็นสัญญาณคาบ แล้ว ACF K f (t) = |
f (t) × f t(+ t) dt และ |
|||||
ยังเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T อีกด้วย
พิจารณาคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ:
1. ACF เป็นฟังก์ชันคู่ กล่าวคือ ฟังก์ชันจะลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น
2. ACF ไปถึงค่าสูงสุดที่ เนื่องจากสัญญาณใดๆ ก็ตามมีความสัมพันธ์อย่างสมบูรณ์กับตัวมันเอง ในกรณีนี้ ค่าสูงสุดของ ACF จะเท่ากับพลังงาน
สัญญาณเช่น |
E = K f (0) = ò f 2 (t) dt สำหรับสัญญาณเป็นระยะ |
|||
กำลังสัญญาณเฉลี่ย |
||||
และกำลังสองของโมดูลัสความหนาแน่นสเปกตรัม |
||||
ระหว่างกันโดยการแปลงฟูริเยร์โดยตรงและผกผัน |
||||
ยิ่งสเปกตรัมสัญญาณกว้างขึ้นเท่าใด ช่วงความสัมพันธ์ก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น เช่น ขนาดของการเปลี่ยนแปลงที่ฟังก์ชันสหสัมพันธ์แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น ยิ่งช่วงความสัมพันธ์ของสัญญาณมากเท่าใด สเปกตรัมก็จะแคบลงเท่านั้น
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ยังสามารถใช้เพื่อประมาณระดับการเชื่อมต่อระหว่างสัญญาณที่แตกต่างกันสองสัญญาณ f 1 (t) และ f 2 (t) ที่เลื่อนตามเวลา
ในกรณีนี้เรียกว่าฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้าม (MCF) และกำหนดโดยนิพจน์:
ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามไม่จำเป็นต้องคำนึงถึง τ และไม่จำเป็นต้องถึงค่าสูงสุดที่ การสร้าง CCF สำหรับสัญญาณสามเหลี่ยมสองตัว f 1 (t) และ f 2 (t) แสดงในรูปที่ 1 6.26. เมื่อทำการเลื่อน
สัญญาณ f 2 (t) ไปทางซ้าย (t > 0, รูปที่ 6.26, a) ฟังก์ชั่นสหสัมพันธ์ของสัญญาณจะเพิ่มขึ้นก่อนแล้วจึงลดลงเป็นศูนย์ที่ เมื่อสัญญาณ f 2 (t) เลื่อนไปทางขวา (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.
f1(ที)
f2(ที)
0 ต
0 ครั้ง -T T
ฉ 1 (เสื้อ) × ฉ 2 (เสื้อ + เสื้อ)
f1(ที)
f2(ที)
0 ต
ที ที + ที |
ฉ 1 (เสื้อ) × ฉ 2 (เสื้อ - เสื้อ)
6.9. แนวคิดของสัญญาณมอดูเลต การมอดูเลตแอมพลิจูด
สัญญาณความถี่สูงใช้ในการส่งข้อมูลในระยะไกล ข้อมูลที่ส่งจะต้องฝังไม่ทางใดก็ทางหนึ่งในการสั่นความถี่สูงซึ่งเรียกว่าคลื่นพาหะ ทางเลือกของชะ-
ค่า ω ของสัญญาณพาหะขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย แต่ไม่ว่าในกรณีใด ω
จะต้องมากกว่าความถี่สูงสุดของสเปกตรัมของข้อความที่ส่งเช่น
ขึ้นอยู่กับลักษณะของพาหะ การปรับสองประเภทจะแตกต่างกัน:
– ต่อเนื่อง - โดยมีพาหะฮาร์มอนิกต่อเนื่องตามเวลา
– พัลส์ - เมื่อพาหะอยู่ในรูปของลำดับพัลส์เป็นระยะ
ข้อมูลการนำสัญญาณสามารถแสดงในรูปแบบได้
ถ้า และ เป็นค่าคงที่ นี่ก็คือการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่ไม่มีข้อมูล หากถูกบังคับให้เปลี่ยนเพื่อส่งข้อความ การสั่นจะกลายเป็นมอดูเลต
ถ้า A (t) เปลี่ยนแปลง แสดงว่าเป็นการปรับแอมพลิจูด หากมุมเป็นเชิงมุม การมอดูเลตเชิงมุมแบ่งออกเป็นสองประเภท: ความถี่ (FM) และเฟส (PM)
เนื่องจาก จากนั้น และ มีการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันของเวลาอย่างช้าๆ จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสำหรับการมอดูเลตประเภทใดก็ตามพารามิเตอร์สัญญาณ
(1) (แอมพลิจูด เฟส และความถี่) เปลี่ยนแปลงช้ามากจนภายในช่วงระยะเวลาหนึ่ง การสั่นของความถี่สูงถือได้ว่าเป็นฮาร์มอนิก หลักฐานนี้รองรับคุณสมบัติของสัญญาณและสเปกตรัม
การมอดูเลตแอมพลิจูด (AM) เมื่อใช้ AM ขอบเขตแอมพลิจูดของสัญญาณพาหะจะเปลี่ยนตามกฎที่สอดคล้องกับกฎการเปลี่ยนแปลงในข้อความที่ส่ง ความถี่ไม่เปลี่ยนแปลงและระยะเริ่มต้นอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับช่วงเวลาที่การมอดูเลตเริ่มต้นขึ้น นิพจน์ทั่วไป (6.22) สามารถแทนที่ได้ด้วย
การแสดงภาพกราฟิกของสัญญาณมอดูเลตแอมพลิจูดจะปรากฏขึ้น 6.27. โดยที่ S (t) คือข้อความต่อเนื่องที่ส่ง ซึ่งเป็นแอมพลิจูดของสัญญาณความถี่สูงฮาร์มอนิกของพาหะ ซองจดหมาย A (t) เปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมายที่สร้างข้อความขึ้นมาใหม่
เซนต์).
ยิ่งใหญ่ที่สุด และ. – ความถี่ของฟังก์ชันมอดูเลต – เฟสเริ่มต้นของซองจดหมาย การมอดูเลตนี้เรียกว่า คือวรรณยุกต์ (6.28) ทำซ้ำกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงในสัญญาณดั้งเดิม (รูปที่ 6.28, b) |
การวิเคราะห์สหสัมพันธ์สามารถใช้เพื่อตรวจสอบการมีอยู่ของสัญญาณที่เป็นประโยชน์กับพื้นหลังของสัญญาณรบกวนและการรบกวน รวมถึงตรวจสอบประสิทธิภาพของตัวกรองดิจิทัล ในกรณีแรก ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่ทำให้เป็นมาตรฐานจะถูกคำนวณระหว่างส่วนของสัญญาณที่มีประโยชน์และชุดตัวเลขของสัญญาณรบกวนอินพุตตัวอย่าง การใช้กราฟของฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะทำให้ตรวจพบสัญญาณที่ต้องการในสัญญาณอินพุตที่มีสัญญาณรบกวนด้วยสายตา
ในกรณีที่สอง เพื่อตรวจสอบประสิทธิภาพของการกรอง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของสัญญาณอ้างอิงที่เป็นประโยชน์ ซึ่งแสดงด้วยชุดตัวเลข และสัญญาณที่กรองจะถูกคำนวณก่อน จากนั้น เมื่อใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องโดยตรงกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์ จะได้สหสัมพันธ์ บนกราฟผลลัพธ์ เส้นระดับวิกฤตจะถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงข้อผิดพลาดในการกรองโดยใช้การทดสอบของนักเรียน ประสิทธิภาพของการกรองจะถูกกำหนดด้วยสายตา: เฉพาะส่วนประกอบของความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณที่มีประโยชน์เท่านั้นที่ควรอยู่เหนือระดับวิกฤต
เพื่อความชัดเจนและความเป็นกลางมากขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่างจะถูกคำนวณระหว่างชุดหมายเลขของข้อมูลอ้างอิง (มีประโยชน์เดิม) และสัญญาณที่กรอง ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สามารถรับค่าได้ในช่วง –1…1 ค่าลบบ่งชี้ว่าสัญญาณอ้างอิงและสัญญาณกรองมีความสัมพันธ์กันในแอนติเฟส เช่น เมื่อกลับสัญญาณที่กรองแล้ว หากตัวกรองดิจิทัลมีประสิทธิภาพในการกรองที่ดีต่อการรบกวนและสัญญาณรบกวน ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์จะใช้ค่าใกล้กับ 1 หรือ –1 คุณภาพของตัวกรองดิจิทัลต่างๆ ที่ใช้กับสัญญาณเฉพาะสามารถกำหนดได้โดยการเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่คำนวณได้
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของสัญญาณแยกมีการคำนวณดังนี้ สำหรับสัญญาณแยก X(i) และ Y(i), i = 1… N จะมีการเลือกส่วนของอาเรย์ ใช่(ผม), ผม = 1… N/2 และฟังก์ชันสหสัมพันธ์ได้รับการคำนวณ
ขนาดของการเปลี่ยนแปลงแบบแยกส่วนอยู่ที่ไหน
คอร์เรโลแกรมหรือสเปกตรัมของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ได้มาจากการใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องโดยตรงกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์:
- ส่วนที่แท้จริงของสเปกตรัม
;
- ส่วนจินตภาพของสเปกตรัม
;
- โมดูลัสของความหนาแน่นสเปกตรัมของฟังก์ชันสหสัมพันธ์
ความถี่ที่สอดคล้องกับค่าสเปกตรัม
โดยที่ระยะเวลาสุ่มตัวอย่างของสัญญาณอินพุต
การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณแยก (ชุดตัวเลข) X(i) และ Y(i), i = 1... N ผลิตดังนี้
ค่าเฉลี่ย (ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) สำหรับ ชุดตัวเลข X(i) และ Y(i):
ผลต่าง
; 
.
โมเมนต์กลางแบบผสมครั้งที่สอง
.
ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่าง
2.6. การวิเคราะห์สหสัมพันธ์-สเปกตรัมของสัญญาณที่กำหนด วงจรและสัญญาณทางวิศวกรรมวิทยุ ส่วนที่ 1
2.6. การวิเคราะห์สหสัมพันธ์-สเปกตรัมของสัญญาณที่กำหนด
ในปัญหาด้านวิศวกรรมวิทยุจำนวนมาก มักมีความจำเป็นต้องเปรียบเทียบสัญญาณและสำเนาของสัญญาณ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงไประยะหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สถานการณ์นี้เกิดขึ้นในเรดาร์ โดยที่พัลส์ที่สะท้อนจากเป้าหมายจะมาถึงอินพุตของตัวรับสัญญาณโดยมีการหน่วงเวลา การเปรียบเทียบสัญญาณเหล่านี้ซึ่งกันและกันเช่น การสร้างความสัมพันธ์ในระหว่างการประมวลผลทำให้สามารถกำหนดพารามิเตอร์ของการเคลื่อนไหวของเป้าหมายได้
ในการหาปริมาณความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณและสำเนาที่เลื่อนตามเวลา จะมีการแนะนำคุณลักษณะ
ซึ่งถูกเรียกว่า ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ(เอเคเอฟ)
เพื่ออธิบายความหมายทางกายภาพของ ACF เราจะยกตัวอย่างโดยที่สัญญาณเป็นพัลส์สี่เหลี่ยมของระยะเวลาและแอมพลิจูด ในรูป รูปที่ 2.9 แสดงพัลส์ สำเนา เลื่อนตามช่วงเวลาและผลิตภัณฑ์ แน่นอนว่าการรวมผลิตภัณฑ์เข้าด้วยกันจะให้ค่าของพื้นที่พัลส์ซึ่งเป็นผลคูณของ เมื่อค่านี้คงที่แล้ว จะสามารถแสดงด้วยจุดในพิกัดได้ เมื่อเปลี่ยนเราจะได้กราฟของฟังก์ชันออโตคอร์เรเลชั่น
เรามาค้นหานิพจน์เชิงวิเคราะห์กัน เพราะ
จากนั้นแทนนิพจน์นี้ลงใน (2.57) เราจะได้
หากคุณเลื่อนสัญญาณไปทางซ้าย การใช้การคำนวณที่คล้ายกันก็แสดงให้เห็นได้ง่าย
จากนั้นเมื่อรวม (2.58) และ (2.59) เราจะได้
จากตัวอย่างที่พิจารณา สามารถสรุปข้อสรุปที่สำคัญต่อไปนี้ซึ่งใช้กับรูปคลื่นตามอำเภอใจได้:
1. ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบจะลดลงตามการเติบโต (ไม่จำเป็นว่าจะจำเจสำหรับสัญญาณประเภทอื่น) แน่นอนว่า ACF มีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน
2. ACF ถึงค่าสูงสุดที่ ในกรณีนี้จะเท่ากับพลังงานสัญญาณ ดังนั้น ACF จึงเป็น พลังงานลักษณะของสัญญาณ ตามที่คาดไว้ สัญญาณและสำเนามีความสัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์ (เชื่อมต่อถึงกัน)
3. จากการเปรียบเทียบ (2.58) และ (2.59) จะได้ว่า ACF เป็น แม้กระทั่งฟังก์ชั่นอาร์กิวเมนต์เช่น
ลักษณะสำคัญของสัญญาณก็คือ ช่วงความสัมพันธ์- ช่วงเวลาสหสัมพันธ์เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นช่วงเวลาที่สัญญาณและสำเนาไม่มีความสัมพันธ์กันเมื่อมีการเปลี่ยนแปลง
ในทางคณิตศาสตร์ ช่วงความสัมพันธ์ถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้
หรือเนื่องจากเป็นฟังก์ชันคู่
ในรูป รูปที่ 2.10 แสดง ACF ของรูปคลื่นตามอำเภอใจ หากคุณสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งสำหรับค่าบวก (สาขาด้านขวาของเส้นโค้ง) ด้านหนึ่งเท่ากัน ด้านที่สองจะสอดคล้องกัน
ลองหาช่วงสหสัมพันธ์ของพัลส์สี่เหลี่ยม การแทนที่ (2.58) เป็น (2.60) หลังจากการแปลงอย่างง่าย เราได้:
ดังต่อไปนี้จากรูป 2.9.
โดยการเปรียบเทียบกับฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ ระดับของความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณทั้งสองจะถูกประมาณ ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้าม(วีเคเอฟ)
มาดูฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณสองสัญญาณกัน: พัลส์สี่เหลี่ยมที่มีแอมพลิจูดและระยะเวลา
และพัลส์สามเหลี่ยมที่มีแอมพลิจูดและระยะเวลาเท่ากัน
การใช้ (2.61) และการคำนวณปริพันธ์แยกกันสำหรับ และ เราได้รับ:
แปลงกราฟิกที่แสดงการคำนวณของ CCF แสดงไว้ในรูปที่ 2.11
ที่นี่เส้นประแสดงตำแหน่งเริ่มต้น (at) ของพัลส์รูปสามเหลี่ยม
เมื่อนิพจน์ (2.61) ถูกแปลงเป็น (2.57) ตามมาว่า ACF เป็นกรณีพิเศษของ CCF ที่มีสัญญาณที่ตรงกันโดยสมบูรณ์
ให้เราทราบคุณสมบัติหลักของ VKF
1. เช่นเดียวกับฟังก์ชัน autocorrelation VCF เป็นฟังก์ชันลดลงของอาร์กิวเมนต์ เมื่อ VKF มีแนวโน้มเป็นศูนย์
2. ค่าของฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามตามอำเภอใจคือค่าต่างๆ พลังงานซึ่งกันและกัน(พลังงานปฏิสัมพันธ์) สัญญาณและ
3. เมื่อฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้าม (ไม่เหมือนกับฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ) ไม่ถึงค่าสูงสุดเสมอไป
4. หากสัญญาณอธิบายด้วยฟังก์ชันเวลาคู่ CCF จะเป็นคู่ด้วย หากสัญญาณอย่างน้อยหนึ่งสัญญาณอธิบายด้วยฟังก์ชันคี่ CCF ก็เป็นคี่เช่นกัน ข้อความแรกนั้นง่ายต่อการพิสูจน์หากคุณคำนวณ CCF ของพัลส์สี่เหลี่ยมสองอันที่มีขั้วตรงข้าม
ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณดังกล่าว
เป็นฟังก์ชันคู่ของอาร์กิวเมนต์
สำหรับข้อความที่สอง ตัวอย่างการพิจารณาในการคำนวณ CCF ของพัลส์สี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมจะพิสูจน์ได้
ในปัญหาที่ประยุกต์ใช้บางประการ วิศวกรวิทยุจะใช้ ACF แบบนอร์มัลไลซ์
และ VKF ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน
ที่ไหน และ คือพลังงานภายในของสัญญาณและ เมื่อเรียกค่าของ VKF ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ข้าม- ถ้า แล้วค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ข้าม
แน่นอนว่าค่ามีตั้งแต่ -1 ถึง +1 หากเราเปรียบเทียบ (2.65) กับ (1.32) เราจะสามารถตรวจสอบได้ว่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สอดคล้องกับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์และในการแสดงทางเรขาคณิตของสัญญาณ
มาคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ข้ามสำหรับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น เนื่องจากพลังงานของสัญญาณพัลส์สี่เหลี่ยมคือ
และชีพจรรูปสามเหลี่ยม
แล้วค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ข้ามตาม (2.62) และ (2.65) จะเท่ากัน สำหรับตัวอย่างที่สอง สำหรับพัลส์สี่เหลี่ยมสองอันที่มีแอมพลิจูดและระยะเวลาเท่ากัน แต่มีขั้วตรงกันข้าม
จากการทดลองสามารถรับ ACF และ VCF ได้โดยใช้อุปกรณ์ แผนภาพโครงสร้างซึ่งแสดงไว้ในรูปที่ 1 2.12
เมื่อถอด ACF ออก สัญญาณจะถูกส่งไปยังอินพุตตัวคูณตัวใดตัวหนึ่ง และสัญญาณเดียวกันจะถูกส่งไปยังอินพุตตัวที่สอง แต่ล่าช้าไประยะหนึ่ง สัญญาณตามสัดส่วนของผลิตภัณฑ์จะขึ้นอยู่กับการดำเนินการบูรณาการ ที่เอาต์พุตของตัวรวมระบบ แรงดันไฟฟ้าจะถูกสร้างขึ้นซึ่งเป็นสัดส่วนกับค่า ACF ที่ค่าคงที่ คุณสามารถสร้าง ACF ของสัญญาณได้โดยการเปลี่ยนเวลาหน่วง
ในการทดลองสร้าง VCF สัญญาณจะถูกป้อนไปที่อินพุตตัวคูณตัวใดตัวหนึ่ง และสัญญาณจะถูกป้อนไปยังอุปกรณ์หน่วงเวลา (วงจรขาเข้าจะแสดงเป็นเส้นประ) มิฉะนั้นอุปกรณ์จะทำงานในลักษณะเดียวกัน โปรดทราบว่าอุปกรณ์ที่อธิบายไว้นั้นเรียกว่า สหสัมพันธ์และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในระบบวิทยุต่างๆ สำหรับการรับและประมวลผลสัญญาณ
จนถึงตอนนี้ เราได้ดำเนินการวิเคราะห์สหสัมพันธ์ของสัญญาณที่ไม่เป็นคาบซึ่งมีพลังงานจำกัด ในเวลาเดียวกัน ความจำเป็นในการวิเคราะห์มักเกิดขึ้นสำหรับสัญญาณที่เป็นคาบ ซึ่งในทางทฤษฎีมีพลังงานไม่สิ้นสุด แต่มีกำลังเฉลี่ยมีจำกัด ในกรณีนี้ ACF และ CCF คำนวณโดยการหาค่าเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งและมีความหมายของกำลังเฉลี่ย (ทั้งของตนเองหรือร่วมกัน ตามลำดับ) ดังนั้น ACF ของสัญญาณคาบคือ:
และฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณคาบสองสัญญาณที่มีหลายคาบ:
โดยที่ค่าที่ใหญ่ที่สุดของงวดคือที่ไหน
เรามาค้นหาฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณฮาร์มอนิกกัน
โดยที่ความถี่วงกลมคือเฟสเริ่มต้น
แทนที่นิพจน์นี้เป็น (2.66) และคำนวณอินทิกรัลโดยใช้ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติที่ทราบ:
จากตัวอย่างที่พิจารณา เราสามารถสรุปข้อสรุปต่อไปนี้ ซึ่งใช้ได้กับสัญญาณที่เป็นคาบใดๆ
1. ACF ของสัญญาณคาบคือฟังก์ชันคาบที่มีคาบเดียวกัน
2. ACF ของสัญญาณคาบเป็นฟังก์ชันคู่ของอาร์กิวเมนต์
3. ที่ค่าหมายถึงกำลังเฉลี่ยที่ปล่อยออกมาที่ความต้านทาน 1 โอห์มและมีค่าที่วัดได้
4. ACF ของสัญญาณคาบไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับเฟสเริ่มต้นของสัญญาณ
ควรสังเกตด้วยว่าช่วงสหสัมพันธ์ของสัญญาณเป็นระยะ
ทีนี้ลองคำนวณฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณฮาร์มอนิกสองตัวที่มีความถี่เท่ากัน แต่แตกต่างกันในแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้น
ฟังก์ชันความสัมพันธ์ของสัญญาณใช้สำหรับการประเมินเชิงปริมาณของรูปร่างสัญญาณและระดับของความคล้ายคลึงกัน
ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ (ACF) ของสัญญาณ (ฟังก์ชันสหสัมพันธ์, CF) ในความสัมพันธ์กับสัญญาณที่กำหนดด้วยพลังงานจำกัด ACF เป็นคุณลักษณะอินทิกรัลเชิงปริมาณของรูปร่างสัญญาณ และแสดงถึงอินทิกรัลผลคูณของสัญญาณ s(t) สองชุด ซึ่งเลื่อนสัมพันธ์กันตามเวลา t:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt (2.25)
ดังต่อไปนี้จากนิพจน์นี้ ACF คือผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณและสำเนาของมันในการขึ้นอยู่กับการทำงานกับค่าตัวแปรของ shift t ดังนั้น ACF จึงมีมิติทางกายภาพของพลังงาน และที่ t = 0 ค่าของ ACF จะเท่ากับพลังงานสัญญาณโดยตรง:
B ส (0) = ส(t) 2 dt = อี ส .
ฟังก์ชัน ACF มีความต่อเนื่องและสม่ำเสมอ อย่างหลังนั้นง่ายต่อการตรวจสอบโดยการแทนที่ตัวแปร t = t-t ในนิพจน์ (2.25):
B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = Bs (-t) (2.25")
เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน การแสดงกราฟิกของ ACF นั้นถูกสร้างขึ้นสำหรับค่าบวกของ t เท่านั้น ในทางปฏิบัติสัญญาณมักจะระบุในช่วงเวลาของค่าอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกตั้งแต่ 0-T เครื่องหมาย +t ในนิพจน์ (2.25) หมายความว่าเมื่อค่าของ t เพิ่มขึ้น สำเนาของสัญญาณ s(t+t) จะเลื่อนไปทางซ้ายตามแกน t และไปเกิน 0 ซึ่งต้องมีส่วนขยายที่สอดคล้องกันของ สัญญาณเข้าสู่ขอบเขตของค่าลบของการโต้แย้ง และเนื่องจากในการคำนวณช่วงเวลาสำหรับการระบุ t ตามกฎแล้วจะน้อยกว่าช่วงเวลาสำหรับการระบุสัญญาณมากจึงเป็นประโยชน์มากกว่าที่จะเลื่อนสำเนาของสัญญาณไปทางซ้ายตามแกนอาร์กิวเมนต์เช่น ใช้ฟังก์ชัน s(t-t) แทน s(t+t) ในนิพจน์ (2.25)
เมื่อค่าของ shift t สำหรับสัญญาณจำกัดเพิ่มขึ้น การทับซ้อนชั่วคราวของสัญญาณที่มีการคัดลอกจะลดลง และผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีแนวโน้มเป็นศูนย์
ตัวอย่าง.ในช่วงเวลา (0,T) จะได้รับพัลส์สี่เหลี่ยมที่มีค่าแอมพลิจูดเท่ากับ A คำนวณฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของพัลส์
เมื่อสำเนาของพัลส์ถูกเลื่อนไปตามแกน t ไปทางขวา ที่ 0≤t≤T สัญญาณจะทับซ้อนกันในช่วงเวลาจาก t ถึง T Dot product:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t)
เมื่อเลื่อนสำเนาของพัลส์ไปทางซ้ายที่ -T≤t
Bs (t) = A 2 dt = A 2 (T+t)
ที่ |t| > T สัญญาณและสำเนาไม่มีจุดตัดกัน และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสัญญาณเป็นศูนย์ (สัญญาณและสำเนาที่ถูกเลื่อนกลายเป็นมุมฉาก)
สรุปการคำนวณเราสามารถเขียนได้:
ในกรณีของสัญญาณเป็นระยะ ACF จะถูกคำนวณในช่วงเวลาหนึ่ง T โดยมีการเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์สเกลาร์และสำเนาที่เลื่อนภายในช่วงเวลา:
B s (t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt
ที่ t=0 ค่าของ ACF ในกรณีนี้ไม่เท่ากับพลังงาน แต่เป็นกำลังเฉลี่ยของสัญญาณภายในช่วง T ACF ของสัญญาณคาบยังเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T เท่ากัน สำหรับ เป็นสัญญาณฮาร์มอนิกโทนเดียว ซึ่งเห็นได้ชัดเจน ค่า ACF สูงสุดค่าแรกจะสอดคล้องกับ t=0 เมื่อสำเนาของสัญญาณถูกเลื่อนไปหนึ่งในสี่ของระยะเวลาที่สัมพันธ์กับต้นฉบับ ฟังก์ชันปริพันธ์จะกลายเป็นมุมตั้งฉากซึ่งกันและกัน (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) และให้ค่า ACF เป็นศูนย์ ค่า. เมื่อเลื่อนไปที่ t=T/2 สำเนาของสัญญาณจะมีทิศทางตรงกันข้ามกับตัวสัญญาณเอง และผลคูณสเกลาร์จะถึงค่าต่ำสุด ด้วยการเพิ่มขึ้นอีกในการเปลี่ยนแปลง กระบวนการย้อนกลับของการเพิ่มค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์เริ่มต้นขึ้น โดยข้ามศูนย์ที่ t=3T/2 และทำซ้ำค่าสูงสุดที่ t=T=2p/w o (cos w o t-2p สำเนาของ º เพราะไม่มีสัญญาณ) กระบวนการที่คล้ายกันเกิดขึ้นสำหรับสัญญาณเป็นระยะที่มีรูปร่างโดยพลการ (รูปที่ 2.11)
โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเฟสเริ่มต้นของสัญญาณฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับสัญญาณที่เป็นคาบใดๆ และเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของ ACF
สำหรับสัญญาณที่ให้ในช่วงเวลาหนึ่ง ACF จะถูกคำนวณด้วยการทำให้เป็นมาตรฐานตามความยาวของช่วงเวลา:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt (2.26)
ความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณสามารถประเมินได้โดยฟังก์ชันของสัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์อัตโนมัติ ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตร (ขึ้นอยู่กับสัญญาณที่อยู่ตรงกลาง):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.
ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้าม (CCF) ของสัญญาณ (ฟังก์ชัน cross-correlation CCF) แสดงทั้งระดับความคล้ายคลึงกันในรูปของสัญญาณทั้งสองและตำแหน่งสัมพัทธ์ซึ่งสัมพันธ์กันตามพิกัด (ตัวแปรอิสระ) ซึ่งมีสูตรเดียวกัน (2.25) คือ ใช้สำหรับ ACF แต่ภายใต้อินทิกรัลมีผลคูณของสัญญาณที่แตกต่างกันสองสัญญาณ ซึ่งหนึ่งในนั้นถูกเลื่อนตามเวลา t:
B 12 (t) = ส 1 (t) ส 2 (t+t) dt (2.27)
เมื่อแทนที่ตัวแปร t = t-t ในสูตร (2.4.3) เราจะได้รับ:
B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)
ข้าว. 2.12. สัญญาณและ VKF
ตามมาว่า VCF ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขพาริตี และค่าของ VCF ก็ไม่จำเป็นต้องมีค่าสูงสุดที่ t = 0 ดังจะเห็นได้ชัดเจนในรูปที่ 1 2.12 โดยให้สัญญาณที่เหมือนกันสองสัญญาณโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุด 0.5 และ 1.5 การคำนวณโดยใช้สูตร (2.27) โดยมีค่า t เพิ่มขึ้นทีละน้อยหมายถึงการเลื่อนสัญญาณ s2(t) ไปทางซ้ายอย่างต่อเนื่องตามแกนเวลา (สำหรับแต่ละค่าของ s1(t) ค่า s2(t+ t) ใช้สำหรับการคูณจำนวนเต็ม)
ที่ t=0 สัญญาณจะตั้งฉากและมีค่า B 12 (t)=0 ค่าสูงสุด B 12 (t) จะถูกสังเกตเมื่อสัญญาณ s2(t) ถูกเลื่อนไปทางซ้ายด้วยค่า t=1 ซึ่งเป็นสัญญาณที่สัญญาณ s1(t) และ s2(t+t) มารวมกันอย่างสมบูรณ์ เมื่อคำนวณค่าของ B 21 (-t) กระบวนการที่คล้ายกันจะดำเนินการโดยเลื่อนสัญญาณ s1(t) ไปทางขวาอย่างต่อเนื่องตามแกนเวลาโดยเพิ่มขึ้นทีละน้อยในค่าลบของ t และตาม ค่า B 21 (-t) เป็นกระจก (สัมพันธ์กับแกน t=0) ที่แสดงค่า B 12 (t) และในทางกลับกัน ในรูป 2.13 มองเห็นได้ชัดเจน
ข้าว. 2.13. สัญญาณและ VKF
ดังนั้น ในการคำนวณ TCF ในรูปแบบเต็ม แกนตัวเลข t จะต้องมีค่าลบ และการเปลี่ยนเครื่องหมาย t ในสูตร (2.27) จะเทียบเท่ากับการจัดเรียงสัญญาณใหม่
สำหรับสัญญาณตามคาบ โดยปกติจะไม่ใช้แนวคิดของ CCF ยกเว้นสัญญาณที่มีคาบเวลาเดียวกัน เช่น สัญญาณอินพุตและเอาต์พุตของระบบ เมื่อศึกษาคุณลักษณะของระบบ
ฟังก์ชั่นของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณทั้งสองคำนวณโดยสูตร (ขึ้นอยู่กับสัญญาณที่อยู่กึ่งกลาง):
r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)
ค่าของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ข้ามอาจแตกต่างกันตั้งแต่ -1 ถึง 1
9 การวิเคราะห์สหสัมพันธ์ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์และคุณสมบัติของมัน การคำนวณฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของพัลส์เดี่ยวและสัญญาณคาบ
นอกเหนือจากการวิเคราะห์สเปกตรัมแล้ว การวิเคราะห์สหสัมพันธ์ยังมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีสัญญาณอีกด้วย ความหมายของมันคือการวัดระดับความเหมือน (ความแตกต่าง) ระหว่างสัญญาณ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ใช้เพื่อจุดประสงค์นี้
CF เป็นส่วนสำคัญของผลคูณของสัญญาณสองชุดซึ่งเลื่อนสัมพันธ์กัน เพื่อนกันสักพัก
ยิ่งค่า CF สูง ความคล้ายคลึงกันก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้น CF มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. มูลค่า CF ที่ 
เท่ากับพลังงานสัญญาณ (จำนวนเต็มของกำลังสอง)
2. เป็นฟังก์ชันคู่
3.ค่า CF ที่ 
4. มีหน้าท้องเพิ่มขึ้น ค่านิยม 
CF ของสัญญาณที่มีพลังงานจำกัดลดทอนลง
5. หากสัญญาณเป็นฟังก์ชันของแรงดันไฟฟ้าเทียบกับเวลา ดังนั้นมิติของ CF [ 
]
ในกรณีของสัญญาณเป็นระยะ (โดยมีจุด T) CF จะถูกคำนวณโดยการหาค่าเฉลี่ยผลคูณของสำเนาที่เลื่อนภายในช่วงเดียว:
ชุดคุณสมบัติของ CF ดังกล่าวเปลี่ยนแปลง:
1. มูลค่า CF ที่ 
เท่ากับกำลังสัญญาณเฉลี่ย
2. คุณสมบัติความเท่าเทียมกันจะถูกรักษาไว้
3.ค่า CF ที่ 
เป็นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้
4. CF เป็นฟังก์ชันคาบ (โดยมีคาบเดียวกับสัญญาณ)
5. หากสัญญาณไม่มีฟังก์ชันเดลต้า CF นั้นจะต่อเนื่อง
6. หากสัญญาณขึ้นอยู่กับ U(t) ดังนั้นมิติของ CF [ 
]
CF ของสัญญาณฮาร์มอนิกเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกที่ไม่ขึ้นอยู่กับเฟสเริ่มต้นของสัญญาณ
10 ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามคุณสมบัติของมัน การคำนวณฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณ
ฟังก์ชัน Cross correlation (CCF) เป็นฟังก์ชันที่แสดงระดับความคล้ายคลึงกันของสัญญาณที่แตกต่างกัน 2 รายการที่เปลี่ยนตามเวลา
แบบฟอร์มทั่วไป:
ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณ CCF ของ 2 ฟังก์ชัน:
ที่ 
ที่ 
ที่ 
เมื่อรวมผลลัพธ์แล้วเราสามารถเขียนได้:
คุณสมบัติ VKF:
1)
2)
3)
4) ถ้าฟังก์ชั่น ส 1 (ที) และ ส 2 (ที) ไม่มีฟังก์ชันเดลต้า ดังนั้น ICF จะไม่สามารถมีความต่อเนื่องได้
5) ถ้าสัญญาณเป็นฟังก์ชัน ยู(ที)
แล้วมิติของ VKF 
11 กระบวนการสุ่ม การดำเนินการตามกระบวนการสุ่ม กฎการกระจายกระบวนการสุ่ม
บางครั้งในทางปฏิบัติ เราต้องรับมือกับปรากฏการณ์ ซึ่งเป็นเส้นทางที่ไม่อาจคาดเดาได้ตลอดเวลา และในแต่ละช่วงเวลาจะมีการอธิบายด้วยตัวแปรสุ่ม ปรากฏการณ์ดังกล่าวเรียกว่ากระบวนการสุ่ม โดยกระบวนการสุ่มเรียกว่าฟังก์ชัน ζ( ที) อาร์กิวเมนต์ที่ไม่สุ่ม ที (โดยปกติคือเวลา) ซึ่งสำหรับแต่ละค่าคงที่ของอาร์กิวเมนต์จะเป็นตัวแปรสุ่ม เช่น อุณหภูมิในตอนกลางวันที่บันทึกโดยเครื่องบันทึก ค่าที่กระบวนการ ζ( ที) ในบางช่วงเวลาจะถูกเรียก รัฐและเซตของสถานะทั้งหมดคือ พื้นที่เฟสกระบวนการสุ่ม ขึ้นอยู่กับจำนวนสถานะที่เป็นไปได้ของกระบวนการสุ่ม พื้นที่เฟสอาจเป็นได้ ไม่ต่อเนื่องหรือ อย่างต่อเนื่องหากกระบวนการสุ่มสามารถเปลี่ยนสถานะได้เฉพาะในบางช่วงเวลา กระบวนการดังกล่าวจะถูกเรียก กระบวนการสุ่มที่มีเวลาไม่ต่อเนื่อง- และถ้าเป็นไปตามอำเภอใจแล้ว - กระบวนการเวลาต่อเนื่อง .
กระบวนการสุ่ม ζ( ที) ถูกเรียก เครื่องเขียนหากการกระจายความน่าจะเป็นของสถานะที่เป็นไปได้ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนลูกเต๋าทุกวินาที การกระจายความน่าจะเป็นของสถานะของกระบวนการสุ่มที่สอดคล้องกัน (รูปที่ 44 ข) ไม่ขึ้นอยู่กับ (ไม่เปลี่ยนแปลง) ตรงเวลา (ในกรณีนี้คือสถานะทั้งหมด ζ( ที) เป็นไปได้เท่าเทียมกัน) ในทางตรงกันข้าม กระบวนการสุ่มที่แสดงลักษณะของอุณหภูมิโดยรอบนั้นไม่คงที่ เนื่องจาก ฤดูร้อนมีอุณหภูมิที่สูงกว่าฤดูหนาว
เรียกว่าการกระจายความน่าจะเป็นของสถานะของกระบวนการสุ่มที่อยู่นิ่ง การกระจายเครื่องเขียน.
มีกฎหมายการกระจายต่างๆ ในหมู่พวกเขา เครื่องแบบ, Gaussian (ปกติ)
เครื่องแบบ: ให้ค่าบางค่า x รับค่า x 1
P(x)=ระบบ(0 ที่ x x 2)
เราค้นหาฟังก์ชันการกระจายโดยการรวมเข้าด้วยกัน
F(x)= ระบบ (0 ที่ x x 2)
การแจกแจงแบบเกาส์เซียน (ปกติ)- ในทฤษฎีสัญญาณสุ่ม ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบเกาส์มีความสำคัญพื้นฐาน
ตามความเท่าเทียมกัน (13.5) ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของการตอบสนองของอุปกรณ์ไม่เชิงเส้นสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้ในแง่ของฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงของอุปกรณ์นี้:
อินทิกรัลคู่มีค่าเท่ากัน ดังที่เห็นได้จากการเปรียบเทียบกับความเท่าเทียมกัน (4.25) ไปจนถึงฟังก์ชันคุณลักษณะร่วมของปริมาณที่เขียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เพราะฉะนั้น,
Expression (13.40) เป็นสูตรหลักสำหรับการวิเคราะห์ผลกระทบแบบสุ่มบนอุปกรณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นโดยใช้วิธีการแปลง ส่วนที่เหลือของบทนี้มีไว้เพื่อประเมินนิพจน์นี้สำหรับอุปกรณ์ประเภทต่างๆ และอิทธิพลประเภทต่างๆ ที่มีต่ออุปกรณ์เหล่านั้น
ในปัญหาหลายๆ อย่าง อิทธิพลที่ใช้กับอินพุตของระบบคือผลรวมของสัญญาณและสัญญาณรบกวนที่เป็นประโยชน์:
โดยที่ฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการความน่าจะเป็นที่เป็นอิสระทางสถิติ ในกรณีเช่นนี้ ฟังก์ชันลักษณะร่วมของอิทธิพลจะเท่ากับผลคูณของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของสัญญาณและเสียง และความเท่าเทียมกัน (13.40) ใช้เวลา
โดยที่ - ฟังก์ชันลักษณะร่วมของปริมาณ - ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะร่วมของปริมาณ และ
เสียงเกาส์เซียนที่อินพุต หากสัญญาณรบกวนที่อินพุตของอุปกรณ์เป็นฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการความน่าจะเป็นแบบเกาส์จริงที่มีการคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์ ดังนั้น ตามความเท่าเทียมกัน (8.23)
โดยที่ฟังก์ชันตอบสนองสหสัมพันธ์ในกรณีนี้จะอยู่ในรูปแบบ
ถ้าตอนนี้ฟังก์ชันจาก และฟังก์ชันจากสามารถแสดงเป็นผลคูณของฟังก์ชันจากหรือเป็นผลบวกของผลิตภัณฑ์ดังกล่าวได้ ก็จะสามารถคำนวณอินทิกรัลคู่ในนิพจน์สุดท้ายเป็นผลคูณของปริพันธ์ได้ ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถแสดงผ่านผลคูณของฟังก์ชันของและต่อจากการขยายเป็นอนุกรมกำลัง
ดังนั้นจึงสามารถเขียนฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของการตอบสนองของอุปกรณ์ไม่เชิงเส้นเมื่อใช้สัญญาณรบกวนแบบเกาส์กับอินพุตได้
สัญญาณไซน์
ให้เราสมมติว่าสัญญาณที่อินพุตของอุปกรณ์นั้นเป็นไซนัสอยด์แบบมอดูเลตนั่นคือ
โดยที่ ฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการความน่าจะเป็นความถี่ต่ำ (เช่น ความหนาแน่นสเปกตรัมไม่เป็นศูนย์เฉพาะในช่วงความถี่ที่อยู่ติดกับความถี่ศูนย์และแคบ เมื่อเปรียบเทียบกับ และโดยที่ตัวแปรสุ่มมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา และไม่ขึ้นอยู่กับ สัญญาณมอดูเลตและสัญญาณรบกวนมีลักษณะเฉพาะของสัญญาณดังกล่าว
เราได้รับการขยายเลขชี้กำลังเป็นสูตร Jacobi-Anger [นิพจน์ (13.20)]
เพราะว่า
โดยที่เราได้รับสัญญาณไซน์ซอยด์แบบมอดูเลตแอมพลิจูด
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของการตอบสนองของอุปกรณ์ไม่เชิงเส้นเมื่อสัญญาณไซน์และเสียงเกาส์เซียนถูกนำไปใช้กับอินพุต สามารถพบได้โดยการแทนที่ (13.47) ลงใน (13.45) เรามากำหนดฟังก์ชันกันดีกว่า
ที่ไหน และฟังก์ชันสหสัมพันธ์
โดยที่การเฉลี่ยจะดำเนินการกับสัญญาณมอดูเลต จากนั้นฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของการตอบสนองจะเท่ากับ
หากทั้งสัญญาณมอดูเลตและเสียงหยุดนิ่ง นิพจน์ (13.50) จะอยู่ในรูปแบบ
หากสัญญาณอินพุตเป็นคลื่นไซน์แบบไม่มีการมอดูเลต
เพราะในกรณีนี้สัมประสิทธิ์จะคงที่และเท่ากัน
ส่วนประกอบของสัญญาณและสัญญาณรบกวนที่เอาท์พุต
ให้เราพิจารณากรณีที่สัญญาณรบกวนอินพุตมีรูปแบบของไซนัสอยด์แบบมอดูเลต ในกรณีนี้ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่เอาต์พุตจะได้รับจากนิพจน์ (13.52) ลองขยายนิพจน์นี้ดังนี้:
เรามาดูส่วนประกอบแต่ละส่วนกัน เทอมแรกสอดคล้องกับส่วนประกอบคงที่ที่เอาต์พุตของอุปกรณ์ คำศัพท์กลุ่มถัดไปสอดคล้องกับส่วนการตอบสนองเป็นระยะและส่วนใหญ่เกิดจากการโต้ตอบของสัญญาณอินพุตกับตัวมันเอง เงื่อนไขที่เหลือสอดคล้องกับความผันผวนแบบสุ่มในการตอบสนอง เช่น สัญญาณรบกวนที่เอาต์พุต เหล่านั้นจาก
ข้อกำหนดที่เหลือเหล่านี้มีสาเหตุหลักมาจากปฏิสัมพันธ์ของสัญญาณรบกวนอินพุตกับตัวมันเอง และคำศัพท์ที่เกิดจากปฏิสัมพันธ์ของสัญญาณและเสียงที่อินพุต
ลองจินตนาการถึงการตอบสนองของอุปกรณ์ที่ไม่เชิงเส้นเป็นผลรวมของค่าเฉลี่ย ส่วนประกอบที่เป็นคาบ และส่วนประกอบแบบสุ่ม:
จากนั้นสามารถเขียนฟังก์ชันตอบสนองสหสัมพันธ์ได้เป็น
โดยที่เมื่อเปรียบเทียบความเท่าเทียมกัน (13.53) และ (13.55) เราจะเห็นว่าค่าเฉลี่ยของการตอบสนองและความกว้างขององค์ประกอบเป็นระยะสามารถแสดงได้โดยตรงผ่านค่าสัมประสิทธิ์
นอกจากนี้ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของส่วนที่สุ่มของการตอบสนองสามารถเขียนได้เป็น
โดยที่เรากำหนดตามคำจำกัดความ (13.50)
ควรสังเกตว่าโดยเคร่งครัดคำศัพท์เหล่านี้เป็นหน้าที่ของกระบวนการที่ปรับสัญญาณอินพุต
คำตอบสำหรับคำถามว่าเงื่อนไขใดใน (13.62) กำหนดสัญญาณเอาท์พุตที่มีประโยชน์นั้นขึ้นอยู่กับจุดประสงค์ของอุปกรณ์ไม่เชิงเส้นแน่นอน ตัวอย่างเช่น หากใช้อุปกรณ์เป็นเครื่องตรวจจับ ส่วนความถี่ต่ำของสัญญาณเอาท์พุตก็มีประโยชน์ ในกรณีนี้ สัญญาณที่มีประโยชน์จะสอดคล้องกับส่วนหนึ่งของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน
ในทางกลับกันหากใช้อุปกรณ์เป็นแอมพลิฟายเออร์แบบไม่เชิงเส้นแล้ว
เพราะในกรณีนี้ส่วนประกอบที่เป็นประโยชน์ของสัญญาณจะกระจุกตัวอยู่ที่ความถี่พาหะของสัญญาณอินพุต
วรรณกรรม: [L.1], หน้า 77-83
[L.2], หน้า 22-26
[L.3], หน้า 39-43
ในปัญหาด้านวิศวกรรมวิทยุจำนวนมาก มักมีความจำเป็นต้องเปรียบเทียบสัญญาณและสำเนาของสัญญาณ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงไประยะหนึ่ง
เมื่อถอด ACF ออก สัญญาณจะถูกส่งไปยังอินพุตตัวคูณตัวใดตัวหนึ่ง และสัญญาณเดียวกันจะถูกส่งไปยังอินพุตตัวที่สอง แต่ล่าช้าไประยะหนึ่ง สัญญาณสัดส่วนผลิตภัณฑ์ 
อยู่ระหว่างการดำเนินการบูรณาการ ที่เอาต์พุตของตัวรวมระบบ แรงดันไฟฟ้าจะถูกสร้างขึ้นซึ่งเป็นสัดส่วนกับค่า ACF ที่ค่าคงที่ คุณสามารถสร้าง ACF ของสัญญาณได้โดยการเปลี่ยนเวลาหน่วง
ในการทดลองสร้าง VCF สัญญาณจะถูกป้อนไปที่อินพุตตัวคูณตัวใดตัวหนึ่ง และสัญญาณจะถูกป้อนไปยังอุปกรณ์หน่วงเวลา (วงจรขาเข้าจะแสดงเป็นเส้นประ) มิฉะนั้นอุปกรณ์จะทำงานในลักษณะเดียวกัน โปรดทราบว่าอุปกรณ์ที่อธิบายไว้นั้นเรียกว่า สหสัมพันธ์และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในระบบวิทยุต่างๆ สำหรับการรับและประมวลผลสัญญาณ
จนถึงตอนนี้ เราได้ดำเนินการวิเคราะห์สหสัมพันธ์ของสัญญาณที่ไม่เป็นคาบซึ่งมีพลังงานจำกัด ในเวลาเดียวกัน ความจำเป็นในการวิเคราะห์มักเกิดขึ้นสำหรับสัญญาณที่เป็นคาบ ซึ่งในทางทฤษฎีมีพลังงานไม่สิ้นสุด แต่มีกำลังเฉลี่ยมีจำกัด ในกรณีนี้ ACF และ CCF คำนวณโดยการหาค่าเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งและมีความหมายของอำนาจเฉลี่ย (ของตัวเองหรือร่วมกัน ตามลำดับ) ดังนั้น ACF ของสัญญาณคาบคือ:
, (2.66)
และฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณคาบสองสัญญาณที่มีหลายคาบ:
, (2.67)
โดยที่ค่าที่ใหญ่ที่สุดของงวดคือที่ไหน
เรามาค้นหาฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณฮาร์มอนิกกัน
,
โดยที่ความถี่วงกลมคือเฟสเริ่มต้น
แทนที่นิพจน์นี้เป็น (2.66) และคำนวณอินทิกรัลโดยใช้ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติที่ทราบ:
.
จากตัวอย่างที่พิจารณา เราสามารถสรุปข้อสรุปต่อไปนี้ ซึ่งใช้ได้กับสัญญาณที่เป็นคาบใดๆ
1. ACF ของสัญญาณคาบคือฟังก์ชันคาบที่มีคาบเดียวกัน
2. ACF ของสัญญาณคาบเป็นฟังก์ชันคู่ของอาร์กิวเมนต์
3. ที่ค่าหมายถึงกำลังเฉลี่ยที่ปล่อยออกมาที่ความต้านทาน 1 โอห์มและมีค่าที่วัดได้
4. ACF ของสัญญาณคาบไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับเฟสเริ่มต้นของสัญญาณ
ควรสังเกตด้วยว่าช่วงสหสัมพันธ์ของสัญญาณเป็นระยะ
ทีนี้ลองคำนวณฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณฮาร์มอนิกสองตัวที่มีความถี่เท่ากัน แต่แตกต่างกันในแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้น
และ.
เราได้รับการใช้ (2.67) และดำเนินการคำนวณอย่างง่าย
,
ที่ไหน 
– ความแตกต่างในระยะเริ่มต้นของสัญญาณและ
ดังนั้นฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามกันของสัญญาณทั้งสองที่กำลังพิจารณาจึงมีข้อมูลเกี่ยวกับความแตกต่างในระยะเริ่มต้น คุณสมบัติที่สำคัญนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการสร้างอุปกรณ์วิศวกรรมวิทยุต่างๆ โดยเฉพาะอุปกรณ์ซิงโครไนซ์สำหรับระบบอัตโนมัติของวิทยุบางระบบและอื่นๆ
เนื่องจาก และ เป็นฟังก์ชันจริงและฟังก์ชันคู่ จึงสามารถเขียนนิพจน์ (2.69) และ (2.70) ตามลำดับในรูปแบบได้
, (2.71)
. (2.72)
การวิเคราะห์สหสัมพันธ์-สเปกตรัมที่พิจารณาแล้วช่วยให้เราสามารถตีความความกว้างสเปกตรัมที่มีประสิทธิภาพอีกครั้งได้ หากทราบสเปกตรัมพลังงาน ความกว้างของสเปกตรัมที่มีประสิทธิผลจะถูกกำหนดดังนี้:
. (2.73)
กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันแสดงถึงด้านของสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งของสเปกตรัมด้านเดียว ซึ่งด้านที่สองจะเท่ากับ (รูปที่ 2.13) เห็นได้ชัดว่าผลคูณของความกว้างประสิทธิผลของสเปกตรัมพลังงานและค่าของช่วงสหสัมพันธ์เป็นค่าคงที่
.
ดังนั้น ในกรณีนี้ เราต้องเผชิญกับการปรากฏตัวของหลักการความไม่แน่นอน: ยิ่งช่วงสหสัมพันธ์มากขึ้น ความกว้างของสเปกตรัมพลังงานก็จะน้อยลง และในทางกลับกัน
คำถามทดสอบสำหรับบทที่ 2
1. ระบบฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานคืออะไร?
2. เราจะเขียนอนุกรมตรีโกณมิติฟูริเยร์ได้อย่างไร?
3. กำหนดแอมพลิจูดและสเปกตรัมเฟสของสัญญาณเป็นระยะ
4. ลักษณะของสเปกตรัมของลำดับพัลส์สี่เหลี่ยมคืออะไร?
5. สเปกตรัมของพัลส์เดี่ยวแตกต่างจากสเปกตรัมของลำดับพัลส์เป็นระยะอย่างไร
6. เขียนการแปลงฟูริเยร์ไปข้างหน้าและผกผัน
7. จะหาระยะเวลาที่มีประสิทธิภาพและความกว้างสเปกตรัมที่มีประสิทธิภาพของสัญญาณสี่เหลี่ยมได้อย่างไร?
8. สเปกตรัมของสัญญาณในรูปของฟังก์ชันเดลต้าคือเท่าใด?
9. กำหนดฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณที่กำหนด
10. ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ข้ามของสัญญาณทั้งสองคืออะไร?
11. จะหาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ข้ามได้อย่างไร?
12. ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณคาบมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?
ฟังก์ชันความสัมพันธ์ของสัญญาณใช้สำหรับการประเมินเชิงปริมาณของรูปร่างสัญญาณและระดับของความคล้ายคลึงกัน
ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ (ACF) ของสัญญาณ (ฟังก์ชันสหสัมพันธ์, CF) ในความสัมพันธ์กับสัญญาณที่กำหนดด้วยพลังงานจำกัด ACF เป็นคุณลักษณะอินทิกรัลเชิงปริมาณของรูปร่างสัญญาณ และแสดงถึงอินทิกรัลผลคูณของสัญญาณ s(t) สองชุด ซึ่งเลื่อนสัมพันธ์กันตามเวลา t:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt (2.4.1)
ดังต่อไปนี้จากนิพจน์นี้ ACF คือผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณและสำเนาของมันในการขึ้นอยู่กับการทำงานกับค่าตัวแปรของ shift t ดังนั้น ACF จึงมีมิติทางกายภาพของพลังงานและที่ t = 0 ค่าของ ACF จะเท่ากับพลังงานสัญญาณโดยตรงและเป็นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ (โคไซน์ของมุมปฏิสัมพันธ์ของสัญญาณกับตัวมันเองเท่ากับ 1 ):
Bs (0) = s(t) 2 dt = E s
ฟังก์ชัน ACF มีความต่อเนื่องและสม่ำเสมอ อย่างหลังนั้นง่ายต่อการตรวจสอบโดยการแทนที่ตัวแปร t = t-t ในนิพจน์ (2.4.1):
B s (t) = s(t) s(t-t) dt = s(t-t) s(t) dt = B s (-t)
เมื่อพิจารณาถึงความเท่าเทียมกัน การแสดงกราฟิกของ ACF มักจะดำเนินการเฉพาะกับค่าบวกของ t เท่านั้น เครื่องหมาย +t ในนิพจน์ (2.4.1) หมายความว่าเมื่อค่า t เพิ่มขึ้นจากศูนย์ สำเนาของสัญญาณ s(t+t) จะเลื่อนไปทางซ้ายตามแกน t ในทางปฏิบัติสัญญาณมักจะระบุในช่วงเวลาของค่าอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกจาก 0-T ซึ่งทำให้สามารถขยายช่วงเวลาด้วยค่าศูนย์ได้หากจำเป็นสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ภายในขีดจำกัดการคำนวณเหล่านี้จะสะดวกกว่าที่จะเลื่อนสำเนาของสัญญาณไปทางซ้ายตามแกนอาร์กิวเมนต์ เช่น การใช้ฟังก์ชัน s(t-t) ในนิพจน์ (2.4.1):
B s (t) = s(t) s(t-t) dt (2.4.1")
เมื่อค่าของ shift t สำหรับสัญญาณจำกัดเพิ่มขึ้น การทับซ้อนชั่วคราวของสัญญาณที่มีการคัดลอกจะลดลง และด้วยเหตุนี้ โคไซน์ของมุมปฏิสัมพันธ์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์โดยรวมจึงมีแนวโน้มเป็นศูนย์:
ตัวอย่าง.ในช่วงเวลา (0,T) จะได้รับพัลส์สี่เหลี่ยมที่มีค่าแอมพลิจูดเท่ากับ A คำนวณฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของพัลส์
เมื่อสำเนาของพัลส์ถูกเลื่อนไปตามแกน t ไปทางขวา ที่ 0≤t≤T สัญญาณจะทับซ้อนกันในช่วงเวลาจาก t ถึง T Dot product:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t)
เมื่อเลื่อนสำเนาของพัลส์ไปทางซ้ายที่ -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
Bs (t) = A 2 dt = A 2 (T+t)
ที่ |t| > T สัญญาณและสำเนาไม่มีจุดตัดกัน และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสัญญาณเป็นศูนย์ (สัญญาณและสำเนาที่ถูกเลื่อนกลายเป็นมุมฉาก)
สรุปการคำนวณเราสามารถเขียนได้:
บี ส (เสื้อ) = 
.
ในกรณีของสัญญาณเป็นระยะ ACF จะถูกคำนวณในช่วงเวลาหนึ่ง T โดยมีการเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์สเกลาร์และสำเนาที่เลื่อนภายในช่วงเวลานี้:
B s (t) = (1/T) s(t) s(t-t) dt
ที่ t=0 ค่าของ ACF ในกรณีนี้ไม่เท่ากับพลังงาน แต่เป็นกำลังเฉลี่ยของสัญญาณภายในช่วง T ACF ของสัญญาณคาบยังเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T เท่ากัน ดังนั้น สำหรับสัญญาณ s(t) = A cos(w 0 t+j 0) ที่ T=2p/w 0 เรามี:
B s (t) = A cos(w 0 t+j 0) A cos(w 0 (t-t)+j 0) = (A 2 /2) cos(w 0 t)
โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเฟสเริ่มต้นของสัญญาณฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับสัญญาณที่เป็นคาบใดๆ และเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของ CF
สำหรับสัญญาณที่ให้ในช่วงเวลาหนึ่ง ACF จะถูกคำนวณด้วยการทำให้เป็นมาตรฐานตามความยาวช่วงเวลา:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt (2.4.2)
ในขีดจำกัด สำหรับสัญญาณที่ไม่ใช่คาบกับการวัด ACF ที่ช่วง T:
บี ส (เสื้อ) = 
. (2.4.2")
ความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณสามารถประเมินได้ด้วยสัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์อัตโนมัติ ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตร (ขึ้นอยู่กับสัญญาณที่อยู่ตรงกลาง):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.
ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้าม (CCF) ของสัญญาณ (ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้าม CCF) แสดงระดับความคล้ายคลึงกันของสำเนาที่ถูกเลื่อนของสัญญาณที่แตกต่างกันสองสัญญาณและตำแหน่งสัมพัทธ์ตามพิกัด (ตัวแปรอิสระ) ซึ่งใช้สูตรเดียวกัน (2.4.1) เป็น สำหรับ ACF แต่ภายใต้อินทิกรัลคือผลคูณของสัญญาณที่แตกต่างกันสองสัญญาณ หนึ่งในนั้นถูกเลื่อนตามเวลา t:
B 12 (t) = ส 1 (t) ส 2 (t+t) dt (2.4.3)
เมื่อแทนที่ตัวแปร t = t-t ในสูตร (2.4.3) เราจะได้รับ:
B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)
ตามมาว่า VCF ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขพาริตี และค่าของ VCF ก็ไม่จำเป็นต้องมีค่าสูงสุดที่ t = 0 ดังจะเห็นได้ชัดเจนในรูปที่ 1 2.4.1 โดยให้สัญญาณที่เหมือนกันสองสัญญาณโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด 0.5 และ 1.5 การคำนวณโดยใช้สูตร (2.4.3) โดยมีค่า t เพิ่มขึ้นทีละน้อยหมายถึงการเลื่อนสัญญาณ s2(t) ไปทางซ้ายอย่างต่อเนื่องตามแกนเวลา (สำหรับแต่ละค่าของ s1(t) ค่า s2( t+t) ใช้สำหรับการคูณจำนวนเต็ม)
