2. Pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapalit)

Ang kakanyahan ng paraan ng pagpapalit ay bilang isang resulta ng pagpapakilala ng isang bagong variable, ang ibinigay mahirap ang integral ay binabawasan sa isang tabular o isa na ang paraan ng pagkalkula ay kilala.

Hayaang kailangang kalkulahin ang integral. Mayroong dalawang mga patakaran sa pagpapalit:

Pangkalahatang tuntunin para sa pagpili ng isang function
ay hindi umiiral, ngunit mayroong ilang mga uri ng integrand function na kung saan mayroong mga rekomendasyon para sa pagpili ng function
.

Ang pagpapalit ng mga variable ay maaaring mailapat nang maraming beses hanggang sa makuha ang resulta.

Halimbawa 1. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
.

Solusyon.

a) Kabilang sa mga integral ng talahanayan ay walang mga radikal ng iba't ibang antas, kaya "Gusto kong mapupuksa", una sa lahat, ng
At
. Upang gawin ito, kailangan mong palitan X tulad ng isang expression kung saan ang parehong mga ugat ay madaling makuha:

b) Isang tipikal na halimbawa kapag may pagnanais na "alisin" ang exponential function
. Ngunit sa kasong ito, mas madaling kunin ang buong expression sa denominator ng fraction bilang isang bagong variable:

;

c) Pagpansin na ang numerator ay naglalaman ng produkto
, na bahagi ng pagkakaiba ng radical expression, palitan ang buong expression na ito ng isang bagong variable:

;

d) Dito, tulad ng kaso a), gusto kong alisin ang radikal. Ngunit dahil, hindi tulad ng punto a), mayroon lamang isang ugat, papalitan namin ito ng isang bagong variable:

e) Narito ang dalawang pangyayari ay nag-aambag sa pagpili ng kapalit: sa isang banda, ang intuitive na pagnanais na mapupuksa ang mga logarithms, sa kabilang banda, ang pagkakaroon ng expression , na siyang pagkakaiba ng function
. Ngunit tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, mas mahusay na isama ang mga constant na kasama ng logarithm sa kapalit:

f) Dito, tulad ng sa nakaraang halimbawa, ang intuitive na pagnanais na alisin ang masalimuot na exponent sa integrand ay pare-pareho sa kilalang katotohanan:
(formula 8 ng talahanayan 3). Samakatuwid mayroon kaming:

.

Pagpapalit ng mga variable para sa ilang mga klase ng function

Tingnan natin ang ilang klase ng mga function kung saan maaaring irekomenda ang ilang partikular na pagpapalit.

Talahanayan 4.Mga makatwirang pag-andar

Uri ng integral	Paraan ng pagsasama
1.1.
1.2.
1.3.	Pagpili ng kumpletong parisukat:
1.4.	Formula ng pag-ulit

Mga transendental na function:

1.5.
– pagpapalit t = e x ;

1.6.
– pagpapalit t=log a x.

Halimbawa 2. Maghanap ng mga integral ng rational function:

A)
; b)
;

V)
; d)
.

Solusyon.

a) Hindi na kailangang kalkulahin ang integral na ito gamit ang pagbabago ng mga variable; dito mas madaling gamitin ang pagpapalit sa ilalim ng differential sign:

b) Katulad nito, ginagamit namin ang subsuming sa ilalim ng differential sign:

;

c) Bago sa amin ay isang integral ng uri 1.3 ng Talahanayan 4, gagamitin namin ang mga kaukulang rekomendasyon:

e) Katulad ng nakaraang halimbawa:

Halimbawa 3. Maghanap ng mga integral

A)
; b)
.

Solusyon.

b) Ang integrand ay naglalaman ng logarithm, kaya gagamitin namin ang rekomendasyon 1.6. Tanging sa kasong ito ito ay mas maginhawa upang palitan hindi lamang isang function
, at ang buong radikal na expression:

.

Talahanayan 6. Trigonometric function (R

Uri ng integral	Paraan ng pagsasama
3.1.	Pangkalahatang pagpapalit , , ,
3.1.1. , Kung	Pagpapalit
3.1.2. , Kung	Pagpapalit .
3.1.3. . , Kung (ibig sabihin, mayroon lamang kahit na antas ng mga pag-andar )	Pagpapalit
3.2.	Kung – kakaiba, pagkatapos ay tingnan ang 3.1.1; Kung – kakaiba, pagkatapos ay tingnan ang 3.1.2; Kung – kahit, pagkatapos ay tingnan ang 3.1.3; Kung – kahit na, pagkatapos ay gumamit ng mga formula para sa pagbabawas ng antas ,
3.3. , ,	Gumamit ng mga formula

Halimbawa 4. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
; V)
; d)
.

Solusyon.

a) Dito namin isinasama ang trigonometriko function. Maglapat tayo ng unibersal na pagpapalit (Talahanayan 6, 3.1):

.

b) Dito rin namin inilalapat ang isang unibersal na pagpapalit:

.

Tandaan na sa itinuturing na integral ang pagbabago ng mga variable ay kailangang mailapat nang dalawang beses.

c) Pareho naming kinakalkula:

e) Isaalang-alang natin ang dalawang paraan para sa pagkalkula ng integral na ito.

1)

.

Tulad ng nakikita mo, nakakuha kami ng iba't ibang mga primitive function. Hindi ito nangangahulugan na ang isa sa mga pamamaraan na ginamit ay nagbibigay ng maling resulta. Ang katotohanan ay ang paggamit ng mga kilalang trigonometric na pagkakakilanlan na nagkokonekta sa tangent ng kalahating anggulo sa mga trigonometric na function ng isang buong anggulo, mayroon kaming

Kaya, ang nahanap na mga antiderivative ay nag-tutugma sa bawat isa.

Halimbawa 5. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
; V)
; G)
.

Solusyon.

a) Sa integral na ito maaari rin nating ilapat ang unibersal na pagpapalit
, ngunit dahil ang cosine na kasama sa integrand ay pantay na kapangyarihan, mas makatwiran na gamitin ang mga rekomendasyon ng talata 3.1.3 ng Talahanayan 6:

b) Una, bawasan natin ang lahat ng trigonometric function na kasama sa integrand sa isang argumento:

Sa resultang integral, maaari tayong mag-aplay ng unibersal na pagpapalit, ngunit napapansin natin na ang integrand ay hindi nagbabago ng sign kapag nagbabago ang mga palatandaan ng sine at cosine:

Dahil dito, ang function ay may mga katangian na tinukoy sa talata 3.1.3 ng Talahanayan 6, kaya ang pinaka-maginhawang pagpapalit ay
. Meron kami:

c) Kung sa isang naibigay na integrat ang tanda ng cosine ay binago, ang buong function ay nagbabago ng sign:

.

Nangangahulugan ito na ang integrand ay may katangiang inilarawan sa talata 3.1.2. Samakatuwid, makatuwirang gamitin ang pagpapalit
. Ngunit una, tulad ng sa nakaraang halimbawa, binabago namin ang integrand function:

d) Kung sa isang naibigay na integrat ang sign ng sine ay nabago, ang buong function ay magbabago ng sign, na nangangahulugang mayroon tayong kaso na inilarawan sa talata 3.1.1 ng Talahanayan 6, samakatuwid ang bagong variable ay dapat na italaga bilang isang function
. Ngunit dahil sa integrand walang presensya ng function
, o ang pagkakaiba nito, binago muna namin ang:

Halimbawa 6. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
;

V)
G)
.

Solusyon.

a) Ang integral na ito ay tumutukoy sa mga integral ng uri 3.2 ng Talahanayan 6. Dahil ang sine ay isang kakaibang kapangyarihan, ayon sa mga rekomendasyon, ito ay maginhawa upang palitan ang function
. Ngunit una naming binago ang integrand function:

.

b) Ang integral na ito ay kapareho ng uri ng nauna, ngunit narito ang mga function
At
magkaroon ng kahit na mga degree, kaya kailangan mong ilapat ang mga formula ng pagbabawas ng degree:
,
. Nakukuha namin:

=

c) Ibahin ang anyo ng function:

d) Ayon sa mga rekomendasyon 3.1.3 ng Talahanayan 6, sa integral na ito ay maginhawang gawin ang kapalit
. Nakukuha namin:

Talahanayan 5.Mga hindi makatwirang pag-andar (R- makatwirang pag-andar ng mga argumento nito)

Uri ng integral	Paraan ng pagsasama
	Pagpapalit , Saan k – karaniwang denominator ng mga fraction …, .
	Pagpapalit , Saan k–karaniwang denominator ng mga fraction …,
2.3.	Pagpapalit, , saan k– karaniwang denominator ng mga exponent fraction …,
2.4.	Pagpapalit .
2.5.	Pagpapalit ,
2.6.	Pagpapalit , .
2.7.	Pagpapalit , .
2.8. (differential binomial), ay isinama lamang sa tatlong kaso: A) R– integer (pagpapalit X = t k, Saan k– karaniwang denominator ng mga fraction T At P); b) – buo (kapalit = t k, Saan k– denominator ng fraction R); V) – buo (kapalit = t k, Saan k– denominator ng fraction R).

Halimbawa 7. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
; V)
.

Solusyon.

a) Ang integral na ito ay maaaring uriin bilang integral ng uri 2.1, kaya gawin natin ang naaangkop na pagpapalit. Alalahanin natin na ang punto ng kapalit sa kasong ito ay upang alisin ang hindi makatwiran. At nangangahulugan ito na ang radikal na pagpapahayag ay dapat mapalitan ng gayong kapangyarihan ng isang bagong variable kung saan ang lahat ng mga ugat sa ilalim ng integral ay makukuha. Sa aming kaso ito ay malinaw :

Sa ilalim ng integral nakakakuha tayo ng hindi wastong rational fraction. Ang pagsasama ng gayong mga praksyon ay nagsasangkot, una sa lahat, ang paghihiwalay sa buong bahagi. Kaya't hatiin natin ang numerator sa denominator:

Pagkatapos makuha namin
, mula rito

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Mga gawaing pang-edukasyon:

• turuan ang mga mag-aaral na gamitin ang paraan ng pagsasama sa pamamagitan ng pagpapalit;
• patuloy na bumuo ng mga kasanayan sa paggamit ng pagsasama ng mga function;
• patuloy na bumuo ng interes sa matematika sa pamamagitan ng paglutas ng problema;
• linangin ang isang mulat na saloobin sa proseso ng pag-aaral, itanim ang isang pakiramdam ng responsibilidad para sa kalidad ng kaalaman, magsagawa ng pagpipigil sa sarili sa proseso ng paglutas at pagdidisenyo ng mga pagsasanay;
• ipaalala na tanging ang mulat na paggamit ng mga algorithm para sa pagkalkula ng hindi tiyak na integral ang magbibigay-daan sa mga mag-aaral na makabisado nang husay ang paksang pinag-aaralan.

Nagbibigay ng mga klase:

• talahanayan ng mga pangunahing pormula ng pagsasama;
• mga task card para sa pagsubok na gawain.

Dapat malaman ng mag-aaral: algorithm para sa pagkalkula ng hindi tiyak na integral gamit ang paraan ng pagpapalit.

Ang mag-aaral ay dapat na: ilapat ang nakuhang kaalaman sa pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral.

Pagganyak ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral.

Ang guro ay nag-uulat na bilang karagdagan sa direktang paraan ng pagsasama, may iba pang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral, isa na rito ang paraan ng pagpapalit. Ito ang pinakakaraniwang paraan ng pagsasama ng isang kumplikadong function, na binubuo ng pagbabago ng integral sa pamamagitan ng paglipat sa isa pang variable ng integration.

Pag-unlad ng aralin

ako. Oras ng pag-aayos.

II. Sinusuri ang takdang-aralin.

Pangharap na survey:

III. Pag-uulit ng pangunahing kaalaman ng mga mag-aaral.

1) Ulitin ang talahanayan ng mga pangunahing pormula sa pagsasama.

2) Ulitin kung ano ang direktang paraan ng pagsasama.

Ang direktang pagsasama ay isang paraan ng pagsasama kung saan ang isang ibinigay na integral ay binabawasan sa isa o higit pang mga integral ng talahanayan sa pamamagitan ng magkatulad na pagbabago ng integrand at ang paggamit ng mga katangian ng hindi tiyak na integral.

IV. Pag-aaral ng bagong materyal.

Hindi laging posible na kalkulahin ang isang naibigay na integral sa pamamagitan ng direktang pagsasama, at kung minsan ito ay nauugnay sa malalaking paghihirap. Sa mga kasong ito, iba pang mga pamamaraan ang ginagamit. Ang isa sa mga pinaka-epektibong pamamaraan ay ang paraan ng pagpapalit o pagpapalit ng variable ng pagsasama. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable ng pagsasama ay posible na bawasan ang isang ibinigay na integral sa isang bagong integral, na medyo madaling kunin nang direkta. Kung pagkatapos baguhin ang variable ang integral ay nagiging mas simple, kung gayon ang layunin ng pagpapalit ay nakamit. Ang pagsasama sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit ay batay sa formula

Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito.

Algoritmo ng pagkalkulahindi tiyak na integral sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

1. Tukuyin kung sa aling talahanayan integral ang integral na ito ay nababawasan (pagkatapos munang baguhin ang integrand, kung kinakailangan).
2. Tukuyin kung aling bahagi ng integrand ang papalitan ng bagong variable, at isulat ang kapalit na ito.
3. Hanapin ang mga pagkakaiba ng parehong bahagi ng tala at ipahayag ang pagkakaiba ng lumang variable (o isang expression na naglalaman ng kaugalian na ito) sa mga tuntunin ng pagkakaiba ng bagong variable.
4. Gumawa ng pagpapalit sa ilalim ng integral.
5. Hanapin ang resultang integral.
6. Bilang resulta, ang isang reverse replacement ay ginawa, i.e. pumunta sa lumang variable. Ito ay kapaki-pakinabang upang suriin ang resulta sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. Hanapin ang mga integral:

1) )4

Ipakilala natin ang pagpapalit:

Ang pagkakaiba sa pagkakapantay-pantay na ito, mayroon tayong:

V. Paglalapat ng kaalaman sa paglutas ng mga tipikal na halimbawa.

VI. Malayang aplikasyon ng kaalaman, kasanayan at kakayahan.

Opsyon 1

Hanapin ang mga integral:

Opsyon 2

Hanapin ang mga integral:

VII. Pagbubuod ng aralin.

VIII. Takdang aralin:

G.N. Yakovlev, bahagi 1, §13.2, talata 2, No. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

Kapag kinakalkula ang mga tiyak na integral gamit ang Newton-Leibniz formula, mas mainam na huwag mahigpit na ibahin ang mga yugto ng paglutas ng problema (paghahanap ng antiderivative ng integrand, paghahanap ng increment ng antiderivative). Ang diskarte na ito, na gumagamit, sa partikular, ng mga formula para sa pagbabago ng variable at pagsasama ng mga bahagi para sa isang tiyak na integral, ay kadalasang ginagawang posible na gawing simple ang pagsulat ng solusyon.

TEOREM. Hayaang ang function na φ(t) ay may tuluy-tuloy na derivative sa interval [α,β], a=φ(α), β=φ(β) at ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa bawat punto x ng form x =φ(t), kung saan t[α,β].

Kung gayon ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

Ang formula na ito ay tinatawag na formula para sa pagbabago ng isang variable sa isang tiyak na integral.

Tulad ng nangyari sa hindi tiyak na integral, ang paggamit ng pagbabago ng variable ay nagbibigay-daan sa amin na pasimplehin ang integral, na inilalapit ito sa (mga) tabular. Bukod dito, hindi tulad ng hindi tiyak na integral, sa kasong ito ay hindi na kailangang bumalik sa orihinal na variable ng pagsasama. Sapat lamang na hanapin ang mga limitasyon ng pagsasama ng α at β sa isang bagong variable t bilang solusyon sa variable t ng mga equation na φ(t)=a at φ(t)=b. Sa pagsasagawa, kapag nagsasagawa ng isang variable na kapalit, sila ay madalas na nagsisimula sa pamamagitan ng pagpahiwatig ng expression t=ψ(x) ng bagong variable sa mga tuntunin ng luma. Sa kasong ito, ang paghahanap ng mga limitasyon ng pagsasama sa variable t ay pinasimple: α=ψ(a), β=ψ(b).

Halimbawa 19. Kalkulahin

Ilagay natin ang t=2-x 2. Pagkatapos dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx at xdx=-dt. Kung x=0, t=2-0 2 =2, at kung x=1, kung gayon t = 2-1 2 = 1. Samakatuwid:

Halimbawa 20. Kalkulahin

Gamitin natin ang pagbabago ng variable. Pagkatapos at. Kung x=0, kung gayon t=1 at kung x=5, kung gayon t=4. Isinasagawa ang kapalit, nakukuha namin.

Pagpapalit ng polynomial o. Narito ang isang polynomial ng degree, halimbawa, ang expression ay isang polynomial ng degree.

Sabihin nating mayroon tayong halimbawa:

Gamitin natin ang variable replacement method. Ano sa tingin mo ang dapat kunin? Tama, .

Ang equation ay nagiging:

Nagsasagawa kami ng reverse na pagbabago ng mga variable:

Lutasin natin ang unang equation:

Magdesisyon tayo pangalawa ang equation:

… Ano ang ibig sabihin nito? Tama! Na walang solusyon.

Kaya, nakatanggap kami ng dalawang sagot - ; .

Naiintindihan mo ba kung paano gamitin ang variable na paraan ng pagpapalit para sa isang polynomial? Magsanay na gawin ito sa iyong sarili:

Nagpasya? Ngayon suriin natin ang mga pangunahing punto kasama mo.

Kailangan mong kunin.

Nakukuha namin ang expression:

Ang paglutas ng isang parisukat na equation, nakita namin na mayroon itong dalawang ugat: at.

Ang solusyon sa unang quadratic equation ay ang mga numero at

Paglutas ng pangalawang quadratic equation - mga numero at.

Sagot: ; ; ;

Isa-isahin natin

Ang variable na paraan ng pagpapalit ay may mga pangunahing uri ng variable na kapalit sa mga equation at hindi pagkakapantay-pantay:

1. Power substitution, kapag kinuha namin bilang ilang hindi kilala, itinaas sa isang kapangyarihan.

2. Pagpapalit ng isang polynomial, kapag kinuha namin para sa isang buong expression na naglalaman ng isang hindi kilala.

3. Fractional-rational na kapalit, kapag kumuha kami ng anumang kaugnayan na naglalaman ng hindi kilalang variable.

Mahalaga payo kapag nagpapakilala ng bagong variable:

1. Ang pagpapalit ng mga variable ay dapat gawin kaagad, sa unang pagkakataon.

2. Ang equation para sa isang bagong variable ay dapat malutas hanggang sa dulo at pagkatapos lamang ibalik sa lumang hindi alam.

3. Kapag bumalik sa orihinal na hindi alam (at sa katunayan sa buong solusyon), huwag kalimutang suriin ang mga ugat para sa ODZ.

Ang isang bagong variable ay ipinakilala sa katulad na paraan, kapwa sa mga equation at sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Tingnan natin ang 3 problema

Mga sagot sa 3 problema

1. Hayaan, pagkatapos ay ang expression ay tumatagal ng form.

Dahil, maaari itong maging positibo at negatibo.

Sagot:

2. Hayaan, pagkatapos ay ang expression ay tumatagal ng form.

walang solusyon dahil...

Sagot:

3. Sa pamamagitan ng pagpapangkat ay nakukuha natin ang:

Hayaan pagkatapos ang expression ay kunin ang form
.

Sagot:

PAGPAPALIT NG MGA VARIABLE. AVERAGE LEVEL.

Pagpapalit ng mga variable- ito ang pagpapakilala ng isang bagong hindi alam, kung saan ang equation o hindi pagkakapantay-pantay ay may mas simpleng anyo.

Ililista ko ang mga pangunahing uri ng mga kapalit.

Pagpapalit ng kapangyarihan

Pagpapalit ng kapangyarihan.

Halimbawa, gamit ang isang pagpapalit, ang isang biquadratic equation ay binabawasan sa isang quadratic na isa: .

Sa hindi pagkakapantay-pantay lahat ay magkatulad.

Halimbawa, gumawa kami ng kapalit sa hindi pagkakapantay-pantay at nakakakuha ng quadratic na hindi pagkakapantay-pantay: .

Halimbawa (magpasya para sa iyong sarili):

Solusyon:

Ito ay isang fractional-rational equation (ulitin), ngunit ang paglutas nito gamit ang karaniwang pamamaraan (pagbawas sa isang karaniwang denominator) ay hindi maginhawa, dahil makakakuha tayo ng isang equation ng degree, kaya ang pagbabago ng mga variable ay ginagamit.

Ang lahat ay magiging mas madali pagkatapos palitan ang: . Pagkatapos:

Ngayon gawin natin baligtad na kapalit:

Sagot: ; .

Pagpapalit ng polynomial

Pagpapalit ng polynomial o.

Narito ang isang polynomial ng degree, i.e. pagpapahayag ng anyo

(halimbawa, ang expression ay isang polynomial ng degree, iyon ay).

Ang pinakakaraniwang ginagamit na pagpapalit para sa quadratic trinomial ay: o.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

At muli, ang pagpapalit ng mga variable ay ginagamit.

Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form:

Ang mga ugat ng quadratic equation na ito ay: at.

Mayroon kaming dalawang kaso. Gumawa tayo ng reverse substitution para sa bawat isa sa kanila:

Nangangahulugan ito na ang equation na ito ay walang mga ugat.

Ang mga ugat ng equation na ito ay: i.

Sagot. .

Fractional-rational substitution

Fractional-rational na pagpapalit.

at ay mga polynomial ng digri at, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, kapag nilulutas ang mga katumbas na equation, iyon ay, mga equation ng form

kadalasang ginagamit ang kapalit.

Ngayon ay ipapakita ko sa iyo kung paano ito gumagana.

Madaling suriin kung ano ang hindi ugat ng equation na ito: pagkatapos ng lahat, kung papalitan natin ito sa equation, makukuha natin kung ano ang sumasalungat sa kondisyon.

Hatiin natin ang equation sa:

Magsama-sama tayo:

Ngayon gumawa kami ng kapalit: .

Ang kagandahan nito ay kapag nilagyan ng parisukat ang dobleng produkto ng mga termino, ang x ay nababawasan:

Sinusundan nito iyon.

Bumalik tayo sa ating equation:

Ngayon ay sapat na upang malutas ang quadratic equation at gawin ang reverse substitution.

Halimbawa:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Kapag ang pagkakapantay-pantay ay hindi hawak, samakatuwid. Hatiin natin ang equation sa:

Ang equation ay kukuha ng anyo:

Ang mga ugat nito:

Gumawa tayo ng reverse replacement:

Lutasin natin ang mga resultang equation:

Sagot: ; .

Isa pang halimbawa:

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

Solusyon:

Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ay kumbinsido kami na hindi ito kasama sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na ito. Hatiin ang numerator at denominator ng bawat fraction sa pamamagitan ng:

Ngayon ang pagpapalit ng variable ay halata: .

Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyo:

Ginagamit namin ang paraan ng pagitan upang mahanap ang y:

sa harap ng lahat, kasi

sa harap ng lahat, kasi

Kaya ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng mga sumusunod:

sa harap ng lahat dahil...

Nangangahulugan ito na ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng mga sumusunod: .

Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay ay lumalabas na katumbas ng pinagsama-samang:

Sagot: .

Pagpapalit ng mga variable- isa sa pinakamahalagang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Sa wakas, bibigyan kita ng ilang mahahalagang tip:

PAGPAPALIT NG MGA VARIABLE. BUOD AT BATAYANG FORMULA.

Pagpapalit ng mga variable- isang paraan para sa paglutas ng mga kumplikadong equation at hindi pagkakapantay-pantay, na nagpapahintulot sa iyo na pasimplehin ang orihinal na expression at dalhin ito sa isang karaniwang anyo.

Mga uri ng variable na kapalit:

1. Pagpapalit ng kapangyarihan: ay itinuturing na ilang hindi kilala, itinaas sa isang kapangyarihan - .
2. Fractional-rational na pagpapalit: anumang kaugnayan na naglalaman ng hindi kilalang variable ay kinukuha bilang - , kung saan at ay mga polynomial ng degrees n at m, ayon sa pagkakabanggit.
3. Pagpapalit ng polynomial: ang buong expression na naglalaman ng hindi alam ay kinuha bilang - o, kung saan ay isang polynomial ng degree.

Pagkatapos malutas ang isang pinasimple na equation/hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan na gumawa ng reverse substitution.

Sa araling ito ay makikilala natin ang isa sa pinakamahalaga at pinakakaraniwang pamamaraan na ginagamit sa paglutas ng mga hindi tiyak na integral - ang paraan ng pagbabago ng variable. Ang matagumpay na mastery ng materyal ay nangangailangan ng paunang kaalaman at mga kasanayan sa pagsasama. Kung mayroong isang pakiramdam ng isang walang laman na buong takure sa integral calculus, dapat mo munang pamilyar ang iyong sarili sa materyal, kung saan ipinaliwanag ko sa isang naa-access na form kung ano ang isang integral at sinuri nang detalyado ang mga pangunahing halimbawa para sa mga nagsisimula.

Sa teknikal, ang paraan ng pagbabago ng isang variable sa isang hindi tiyak na integral ay ipinatupad sa dalawang paraan:

– Ipasubsuming ang function sa ilalim ng differential sign;
- Talagang pinapalitan ang variable.

Sa pangkalahatan, ang mga ito ay pareho, ngunit ang disenyo ng solusyon ay mukhang iba.

Magsimula tayo sa isang mas simpleng kaso.

Pagpapasa ng isang function sa ilalim ng differential sign

Sa aralin Indefinite integral. Mga halimbawa ng solusyon natutunan namin kung paano buksan ang pagkakaiba, ipinaalala ko sa iyo ang halimbawang ibinigay ko:

Iyon ay, ang pagbubunyag ng isang kaugalian ay pormal na halos kapareho ng paghahanap ng isang hinalaw.

Halimbawa 1

Magsagawa ng check.

Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga integral at nakahanap ng katulad na formula: . Ngunit ang problema ay na sa ilalim ng sine mayroon kaming hindi lamang ang titik na "X", ngunit isang kumplikadong expression. Anong gagawin?

Dinadala namin ang function sa ilalim ng differential sign:

Sa pamamagitan ng pagbubukas ng differential, madaling suriin na:

Sa katunayan at ay isang pag-record ng parehong bagay.

Ngunit, gayunpaman, ang tanong ay nanatili, paano tayo nakarating sa ideya na sa unang hakbang kailangan nating isulat ang ating integral nang eksakto tulad nito: ? Bakit ito at hindi kung hindi man?

Formula (at lahat ng iba pang mga formula ng talahanayan) ay wasto at naaangkop HINDI LAMANG para sa variable, kundi pati na rin para sa anumang kumplikadong expression BILANG FUNCTION ARGUMENT LANG(- sa aming halimbawa) AT ANG EXPRESSION SA ILALIM NG DIFFERENTIAL SIGN AY PAREHO .

Samakatuwid, ang mental na pangangatwiran kapag nagresolve ay dapat na ganito: "Kailangan kong lutasin ang integral. Tumingin ako sa mesa at nakakita ng katulad na formula . Ngunit mayroon akong isang kumplikadong argumento at hindi ko agad magagamit ang formula. Gayunpaman, kung pinamamahalaan kong makuha ito sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian, kung gayon ang lahat ay magiging maayos. Kung isusulat ko ito, kung gayon. Ngunit sa orihinal na integral walang kadahilanan-tatlo, samakatuwid, upang hindi magbago ang integrand function, kailangan kong i-multiply ito sa ". Sa kurso ng humigit-kumulang na ganoong mental na pangangatwiran, ang sumusunod na entry ay ipinanganak:

Ngayon ay maaari mong gamitin ang tabular formula :

handa na

Ang pagkakaiba lang ay wala kaming letrang "X", ngunit isang kumplikadong expression.

Suriin natin. Buksan ang talahanayan ng mga derivatives at pag-iba-iba ang sagot:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integral ay natagpuan ng tama.

Pakitandaan na sa panahon ng pag-verify ay ginamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function . Sa esensya, ang pag-subsuming ng function sa ilalim ng differential sign at - ito ay dalawang magkasalungat na tuntunin.

Halimbawa 2

Suriin natin ang integrand function. Narito mayroon kaming isang fraction, at ang denominator ay isang linear function (na may "x" sa unang kapangyarihan). Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga integral at hinahanap ang pinakakatulad na bagay: .

Dinadala namin ang function sa ilalim ng differential sign:

Ang mga nahihirapang agad na malaman kung aling fraction ang paramihin ay maaaring mabilis na maihayag ang pagkakaiba sa isang draft: . Oo, lumalabas na nangangahulugan ito na para walang magbago, kailangan kong i-multiply ang integral sa .
Susunod, ginagamit namin ang formula ng talahanayan :

Pagsusuri:


Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integral ay natagpuan ng tama.

Halimbawa 3

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magsagawa ng check.

Halimbawa 4

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magsagawa ng check.

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Sa ilang karanasan sa paglutas ng mga integral, ang mga ganitong halimbawa ay mukhang madali at mag-click na parang mani:

Sa dulo ng seksyong ito, gusto ko ring tumira sa "libre" na kaso, kapag sa isang linear na function ay pumasok ang isang variable na may isang unit coefficient, halimbawa:

Sa mahigpit na pagsasalita, ang solusyon ay dapat magmukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang pag-subsume ng function sa ilalim ng differential sign ay "walang sakit", nang walang anumang pagpaparami. Samakatuwid, sa pagsasagawa, ang gayong mahabang solusyon ay madalas na napapabayaan at agad na isinulat iyon . Ngunit maging handa, kung kinakailangan, upang ipaliwanag sa guro kung paano mo ito nalutas! Dahil wala talagang integral sa table.

Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang pangkalahatang kaso - ang paraan ng pagbabago ng mga variable sa hindi tiyak na integral.

Halimbawa 5

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Bilang halimbawa, kinuha ko ang integral na tiningnan natin sa pinakasimula ng aralin. Tulad ng nasabi na namin, upang malutas ang integral nagustuhan namin ang formula ng tabular , at gusto kong bawasan ang buong bagay sa kanya.

Ang ideya sa likod ng paraan ng pagpapalit ay upang palitan ang isang kumplikadong expression (o ilang function) ng isang titik.
Sa kasong ito, humihiling:
Ang pangalawang pinakasikat na kapalit na liham ay ang liham .
Sa prinsipyo, maaari kang gumamit ng iba pang mga titik, ngunit susundin pa rin namin ang mga tradisyon.

Kaya:
Ngunit kapag pinalitan namin ito, kami ay naiwan sa ! Marahil, marami ang nahulaan na kung ang isang paglipat ay ginawa sa isang bagong variable, pagkatapos ay sa bagong integral ang lahat ay dapat ipahayag sa pamamagitan ng sulat , at walang lugar para sa isang kaugalian doon sa lahat.
Ang lohikal na konklusyon ay na ito ay kinakailangan maging ilang expression na nakasalalay lamang sa.

Ang aksyon ay ang mga sumusunod. Pagkatapos naming pumili ng kapalit, sa halimbawang ito, kailangan naming hanapin ang pagkakaiba. Sa mga pagkakaiba, sa tingin ko lahat ay nakapagtatag na ng pagkakaibigan.

Simula noon

Pagkatapos i-disassembling ang differential, inirerekumenda kong muling isulat ang huling resulta nang maikli hangga't maaari:
Ngayon, ayon sa mga patakaran ng proporsyon, ipinapahayag namin kung ano ang kailangan namin:

Sa kalaunan:
kaya:

At ito na ang pinaka-tabular na integral (ang talahanayan ng mga integral, siyempre, ay may bisa din para sa variable).

Sa wakas, ang natitira na lang ay isagawa ang reverse replacement. Tandaan natin yan.

handa na.

Ang huling disenyo ng halimbawang isinasaalang-alang ay dapat magmukhang ganito:

“

Palitan natin:

“

Ang icon ay walang anumang mathematical na kahulugan; nangangahulugan ito na naantala namin ang solusyon para sa mga intermediate na paliwanag.

Kapag naghahanda ng isang halimbawa sa isang kuwaderno, mas mahusay na markahan ang reverse substitution gamit ang isang simpleng lapis.

Pansin! Sa mga sumusunod na halimbawa, ang paghahanap ng pagkakaiba ay hindi ilalarawan nang detalyado.

At ngayon ay oras na upang matandaan ang unang solusyon:

Ano ang pagkakaiba? Walang pangunahing pagkakaiba. Ito ay aktwal na ang parehong bagay. Ngunit mula sa punto ng view ng pagdidisenyo ng gawain, ang paraan ng pag-subsume ng isang function sa ilalim ng differential sign ay mas maikli..

Ang tanong ay lumitaw. Kung ang unang paraan ay mas maikli, kung gayon bakit gagamitin ang kapalit na paraan? Ang katotohanan ay para sa isang bilang ng mga integral ay hindi napakadali na "magkasya" ang pag-andar sa tanda ng kaugalian.

Halimbawa 6

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Gumawa tayo ng kapalit: (mahirap mag-isip ng ibang kapalit dito)

Tulad ng nakikita mo, bilang isang resulta ng kapalit, ang orihinal na integral ay makabuluhang pinasimple - nabawasan sa isang ordinaryong function ng kuryente. Ito ang layunin ng pagpapalit - upang gawing simple ang integral.

Ang mga tamad na advanced na tao ay madaling malulutas ang integral na ito sa pamamagitan ng paglalagay ng function sa ilalim ng differential sign:

Ang isa pang bagay ay ang gayong solusyon ay malinaw na hindi para sa lahat ng mga mag-aaral. Sa karagdagan, na sa halimbawang ito, ang paggamit ng paraan ng subsuming isang function sa ilalim ng kaugalian sign makabuluhang pinapataas ang panganib na malito sa isang desisyon.

Halimbawa 7

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magsagawa ng check.

Halimbawa 8

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Kapalit:
Ito ay nananatiling upang makita kung ano ito ay magiging

Okay, naipahayag namin ito, ngunit ano ang gagawin sa "X" na natitira sa numerator?!
Paminsan-minsan, kapag nilulutas ang mga integral, nakatagpo namin ang sumusunod na trick: ipapahayag namin mula sa parehong kapalit!

Halimbawa 9

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Halimbawa 10

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Tiyak na napansin ng ilang tao na sa aking lookup table ay walang variable na panuntunan sa pagpapalit. Ito ay sadyang ginawa. Ang panuntunan ay lilikha ng kalituhan sa pagpapaliwanag at pag-unawa, dahil hindi ito malinaw na lumilitaw sa mga halimbawa sa itaas.

Ngayon ay oras na upang pag-usapan ang pangunahing premise ng paggamit ng variable substitution method: ang integrand ay dapat maglaman ng ilang function at ang hinango nito:(maaaring wala sa produkto ang mga function)

Sa bagay na ito, kapag naghahanap ng mga integral, madalas mong tingnan ang talahanayan ng mga derivatives.

Sa halimbawang isinasaalang-alang, napansin namin na ang antas ng numerator ay mas mababa ng isa kaysa sa antas ng denominator. Sa talahanayan ng mga derivatives nakita namin ang formula, na binabawasan lamang ang antas ng isa. At nangangahulugan ito na kung itinalaga mo ito bilang denominator, kung gayon ang pagkakataon ay mataas na ang numerator ay magiging isang bagay na mabuti.