2. Dəyişən dəyişdirmə (əvəzetmə üsulu)

Əvəzetmə metodunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, yeni dəyişənin daxil edilməsi nəticəsində verilmiş çətin inteqral cədvəlli və ya hesablama üsulu məlum olan birinə endirilir.

İnteqralı hesablamaq lazım olsun. İki əvəzetmə qaydası var:

Funksiya seçimi üçün ümumi qayda
mövcud deyil, lakin funksiyanın seçilməsi üçün tövsiyələr olan bir neçə növ inteqran funksiyaları var
.

Dəyişənlərin əvəzlənməsi nəticə əldə olunana qədər bir neçə dəfə tətbiq oluna bilər.

Misal 1. İnteqralları tapın:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
.

Həll.

a) Cədvəl inteqralları arasında müxtəlif dərəcəli radikallar yoxdur, ona görə də “qurtulmaq istəyirəm”, ilk növbədə,
Və
. Bunu etmək üçün dəyişdirmək lazımdır X hər iki kökün asanlıqla çıxarıla biləcəyi bir ifadə:

b) Eksponensial funksiyadan “qutulmaq” istəyi olduqda tipik bir nümunə
. Lakin bu halda kəsrin məxrəcindəki bütün ifadəni yeni dəyişən kimi götürmək daha rahatdır:

;

c) Hissənin məhsulu ehtiva etdiyinə diqqət yetirmək
radikal ifadənin diferensialının bir hissəsi olan , bütün bu ifadəni yeni dəyişənlə əvəz edin:

;

d) Burada a) halında olduğu kimi radikaldan xilas olmaq istəyirəm. Lakin a) bəndindən fərqli olaraq yalnız bir kök olduğundan onu yeni dəyişənlə əvəz edəcəyik:

e) Burada iki hal əvəzetmə seçiminə kömək edir: bir tərəfdən, loqarifmlərdən qurtulmaq üçün intuitiv istək, digər tərəfdən, ifadənin olması. , funksiyanın diferensialıdır
. Ancaq əvvəlki nümunələrdə olduğu kimi, əvəzetmədə loqarifmanı müşayiət edən sabitləri daxil etmək daha yaxşıdır:

f) Burada, əvvəlki misalda olduğu kimi, inteqraldakı çətin göstəricidən qurtulmaq üçün intuitiv istəyi hamıya məlum olan fakta uyğundur:
(cədvəl 3-ün düstur 8). Buna görə də bizdə:

.

Bəzi funksiya sinifləri üçün dəyişənlərin dəyişdirilməsi

Müəyyən əvəzetmələrin tövsiyə oluna biləcəyi bəzi funksiya siniflərinə baxaq.

Cədvəl 4.Rasional funksiyalar

İnteqral növü	İnteqrasiya üsulu
1.1.
1.2.
1.3.	Tam kvadratın seçilməsi:
1.4.	Təkrarlanma düsturu

Transsendental funksiyalar:

1.5.
- əvəzetmə t = e x ;

1.6.
- əvəzetmə t= log a x.

Misal 2. Rasional funksiyaların inteqrallarını tapın:

A)
; b)
;

V)
; d)
.

Həll.

a) Dəyişənlərin dəyişməsi ilə bu inteqralı hesablamaq lazım deyil, burada diferensial işarə altında əvəzetmədən istifadə etmək daha asandır;

b) Eynilə, biz diferensial işarə altında toplamadan istifadə edirik:

;

c) Cədvəl 4-ün 1.3 növünün inteqralından əvvəl biz müvafiq tövsiyələrdən istifadə edəcəyik:

e) Əvvəlki nümunəyə oxşar:

Misal 3.İnteqralları tapın

A)
; b)
.

Həll.

b) İnteqralda loqarifm var, ona görə də biz tövsiyə 1.6-dan istifadə edəcəyik. Yalnız bu halda yalnız bir funksiyanı deyil, əvəz etmək daha rahatdır
, və bütün radikal ifadə:

.

Cədvəl 6. Triqonometrik funksiyalar (R

İnteqral növü	İnteqrasiya üsulu
3.1.	Universal əvəzetmə , , ,
3.1.1. , Əgər	Əvəzetmə
3.1.2. , Əgər	Əvəzetmə .
3.1.3. . , Əgər (yəni funksiyaların yalnız hətta səlahiyyətləri var )	Əvəzetmə
3.2.	Əgər – tək, onda 3.1.1-ə baxın; Əgər – tək, sonra bax 3.1.2; Əgər – bərabər, onda 3.1.3-ə baxın; Əgər – hətta, sonra dərəcəni azaltmaq üçün düsturlardan istifadə edin ,
3.3. , ,	Düsturlardan istifadə edin

Misal 4.İnteqralları tapın:

A)
; b)
; V)
; d)
.

Həll.

a) Burada triqonometrik funksiyanı inteqral edirik. Universal əvəzetmə tətbiq edək (Cədvəl 6, 3.1):

.

b) Burada da universal əvəzetmə tətbiq edirik:

.

Qeyd edək ki, nəzərdən keçirilən inteqralda dəyişənlərin dəyişməsi iki dəfə tətbiq edilməli idi.

c) Eyni şəkildə hesablayırıq:

e) Bu inteqralın hesablanmasının iki üsulunu nəzərdən keçirək.

1)

.

Gördüyünüz kimi, biz müxtəlif primitiv funksiyalar əldə etmişik. Bu o demək deyil ki, istifadə olunan texnikalardan biri yanlış nəticə verir. Fakt budur ki, yarım bucağın tangensini tam bucağın triqonometrik funksiyaları ilə birləşdirən məşhur triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək,

Beləliklə, tapılan antiderivativlər bir-biri ilə üst-üstə düşür.

Misal 5.İnteqralları tapın:

A)
; b)
; V)
; G)
.

Həll.

a) Bu inteqralda universal əvəzetməni də tətbiq edə bilərik
, lakin inteqrana daxil olan kosinus bərabər gücə malik olduğundan, Cədvəl 6-nın 3.1.3-cü bəndinin tövsiyələrindən istifadə etmək daha rasionaldır:

b) Əvvəlcə inteqrada daxil olan bütün triqonometrik funksiyaları bir arqumentə endirək:

Yaranan inteqralda universal əvəzetmə tətbiq edə bilərik, lakin qeyd edirik ki, sinus və kosinusun işarələri dəyişdikdə inteqral işarəni dəyişmir:

Nəticə etibarilə, funksiya Cədvəl 6-nın 3.1.3-cü bəndində göstərilən xüsusiyyətlərə malikdir, ona görə də ən əlverişli əvəzetmə
. Bizdə:

c) Verilmiş inteqralda kosinusun işarəsi dəyişdirilirsə, bütün funksiya işarəsini dəyişir:

.

Bu o deməkdir ki, inteqran 3.1.2-ci bənddə təsvir olunan əmlaka malikdir. Buna görə də əvəzetmədən istifadə etmək rasionaldır
. Ancaq əvvəlcə, əvvəlki nümunədə olduğu kimi, inteqral funksiyanı çeviririk:

d) Əgər verilmiş inteqralda sinusun işarəsi dəyişdirilərsə, onda bütün funksiya işarəni dəyişəcək, bu o deməkdir ki, bizdə Cədvəl 6-nın 3.1.1-ci bəndində təsvir olunan hal var, ona görə də yeni dəyişən funksiya kimi təyin olunmalıdır.
. Lakin inteqralda funksiyanın mövcudluğu olmadığı üçün
, nə də onun diferensialını, əvvəlcə çeviririk:

Misal 6.İnteqralları tapın:

A)
; b)
;

V)
G)
.

Həll.

a) Bu inteqral Cədvəl 6-nın 3.2 tipli inteqrallarına aiddir. Sinus tək güc olduğundan, tövsiyələrə əsasən funksiyanı əvəz etmək rahatdır.
. Ancaq əvvəlcə inteqral funksiyanı dəyişdiririk:

.

b) Bu inteqral əvvəlki ilə eyni tipdədir, lakin burada funksiyalar
Və
hətta dərəcələrə malikdir, buna görə dərəcəni azaltmaq üçün düsturları tətbiq etməlisiniz:
,
. Biz əldə edirik:

=

c) Funksiyanı çevirin:

d) Cədvəl 6-nın 3.1.3-cü tövsiyələrinə uyğun olaraq, bu inteqralda dəyişdirmə etmək rahatdır.
. Biz əldə edirik:

Cədvəl 5.İrrasional funksiyalar (R– arqumentlərinin rasional funksiyası)

İnteqral növü	İnteqrasiya üsulu
	Əvəzetmə , Harada k – kəsrlərin ortaq məxrəci …, .
	Əvəzetmə , Harada k– kəsrlərin ortaq məxrəci …,
2.3.	Əvəzetmə, , Harada k– göstərici kəsrlərin ortaq məxrəci …,
2.4.	Əvəzetmə .
2.5.	Əvəzetmə ,
2.6.	Əvəzetmə , .
2.7.	Əvəzetmə , .
2.8. (diferensial binom), yalnız üç halda inteqrasiya olunur: A) R- tam ədəd (əvəzetmə X = t k, Harada k– kəsrlərin ortaq məxrəci T Və P); b) - bütöv (əvəz = t k, Harada k– kəsrin məxrəci R); V) - bütöv (əvəz = t k, Harada k– kəsrin məxrəci R).

Misal 7.İnteqralları tapın:

A)
; b)
; V)
.

Həll.

a) Bu inteqral 2.1 tipli inteqrallar kimi təsnif edilə bilər, ona görə də uyğun əvəzetmə aparaq. Yada salaq ki, bu işdə əvəzlənmə məqamı irrasionallıqdan qurtulmaqdır. Və bu o deməkdir ki, radikal ifadə inteqralın altındakı bütün köklərin çıxarılacağı yeni dəyişənin elə bir gücü ilə əvəz edilməlidir. Bizim vəziyyətimizdə bu, göz qabağındadır :

İnteqral altında düzgün olmayan rasional kəsr alırıq. Belə fraksiyaların inteqrasiyası, ilk növbədə, bütün hissənin təcrid olunmasını nəzərdə tutur. Beləliklə, payı məxrəcə bölək:

Sonra alırıq
, buradan

Polinomun dəyişdirilməsi və ya. Burada dərəcə çoxhədli, məsələn, ifadə dərəcə çoxhədlidir.

Tutaq ki, bir nümunəmiz var:

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodundan istifadə edək. Sizcə nə üçün alınmalıdır? Doğru, .

Tənlik belə olur:

Dəyişənlərin tərs dəyişməsini həyata keçiririk:

Birinci tənliyi həll edək:

Gəlin qərar verək ikinci tənlik:

… Bu nə deməkdir? Doğru! Heç bir həll yolu yoxdur.

Beləliklə, iki cavab aldıq - ; .

Çoxhədli üçün dəyişən əvəzetmə metodundan necə istifadə edəcəyinizi başa düşürsünüzmü? Bunu özünüz etməyə məşq edin:

Qərar verdiniz? İndi sizinlə əsas məqamları yoxlayaq.

Gərək götürəsən.

İfadə alırıq:

Kvadrat tənliyi həll edərkən onun iki kökünün olduğunu görürük: və.

Birinci kvadrat tənliyin həlli və ədədləridir

İkinci kvadrat tənliyin həlli - ədədlər və.

Cavab verin: ; ; ;

Gəlin ümumiləşdirək

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodu tənliklərdə və bərabərsizliklərdə dəyişənlərin dəyişdirilməsinin əsas növlərinə malikdir:

1. Gücün dəyişdirilməsi, bəzi bilinməyənləri qəbul etdiyimiz zaman bir gücə yüksəldi.

2. Tərkibində naməlum olan bütöv ifadə üçün götürdükdə çoxhədlinin dəyişdirilməsi.

3. Tərkibində naməlum dəyişən olan hər hansı əlaqəni götürdükdə kəsr-rasional əvəzetmə.

Əhəmiyyətli məsləhət yeni dəyişən təqdim edərkən:

1. Dəyişənlərin dəyişdirilməsi dərhal, ilk fürsətdə həyata keçirilməlidir.

2. Yeni dəyişən üçün tənlik sona qədər həll edilməli və yalnız bundan sonra köhnə bilinməyənə qaytarılmalıdır.

3. Orijinal bilinməyənə (və həqiqətən də bütün həll boyunca) qayıdarkən, ODZ üçün kökləri yoxlamağı unutmayın.

Yeni dəyişən həm tənliklərdə, həm də bərabərsizliklərdə oxşar şəkildə təqdim olunur.

Gəlin 3 problemə baxaq

3 problemin cavabı

1. Qoy, onda ifadə formasını alır.

Çünki həm müsbət, həm də mənfi ola bilər.

Cavab:

2. Qoy, onda ifadə formasını alır.

həlli yoxdur, çünki...

Cavab:

3. Qruplaşdıraraq əldə edirik:

O zaman ifadə formasını alsın
.

Cavab:

DƏYİŞƏNLƏRİN DƏYİŞMƏSİ. ORTA SƏVİYYƏ.

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi- bu, tənlik və ya bərabərsizliyin daha sadə formaya malik olduğu yeni naməlumun tətbiqidir.

Mən əvəzetmələrin əsas növlərini sadalayacağam.

Gücün dəyişdirilməsi

Gücün dəyişdirilməsi.

Məsələn, əvəzetmədən istifadə edərək bikvadrat tənlik kvadratik tənliyə endirilir: .

Bərabərsizliklərdə hər şey oxşardır.

Məsələn, bərabərsizlikdə əvəzlik edib kvadrat bərabərsizlik alırıq: .

Nümunə (özünüz qərar verin):

Həll:

Bu fraksiya-rasional tənlikdir (təkrar), lakin onu adi üsulla həll etmək (ortaq məxrəcə endirmə) əlverişsizdir, çünki dərəcə tənliyini əldə edəcəyik, buna görə dəyişənlərin dəyişməsindən istifadə olunur.

Əvəz etdikdən sonra hər şey çox asanlaşacaq: . Sonra:

İndi bunu edək tərs dəyişdirmə:

Cavab: ; .

Polinomun dəyişdirilməsi

Çoxhədlinin dəyişdirilməsi və ya.

Burada bir dərəcə polinomu, yəni. formanın ifadəsi

(məsələn, ifadə dərəcə polinomudur, yəni).

Kvadrat üçhəcmli üçün ən çox istifadə edilən əvəzetmə: və ya.

Misal:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Və yenə də dəyişənlərin əvəzlənməsi istifadə olunur.

Sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

Bu kvadrat tənliyin kökləri: və.

İki halımız var. Onların hər biri üçün tərs əvəz edək:

Bu o deməkdir ki, bu tənliyin heç bir kökü yoxdur.

Bu tənliyin kökləri: i.

Cavab verin.

.

Fraksiyalı-rasional əvəzetmə

və müvafiq olaraq dərəcə və polinomlarıdır.

Məsələn, qarşılıqlı tənlikləri, yəni formalı tənlikləri həll edərkən

dəyişdirilməsi adətən istifadə olunur.

İndi bunun necə işlədiyini sizə göstərəcəyəm.

Bu tənliyin kökünün nəyin olmadığını yoxlamaq asandır: nəhayət, onu tənlikdə əvəz etsək, şərtə zidd olanı alırıq.

Tənliyi aşağıdakılara bölək:

Yenidən qruplaşdıraq:

İndi bir əvəz edirik: .

Bunun gözəlliyi ondadır ki, şərtlərin ikiqat hasilini kvadratlaşdırarkən x azalır:

Bundan belə çıxır.

Gəlin tənliyimizə qayıdaq:

İndi kvadrat tənliyi həll etmək və əks əvəzetmə etmək kifayətdir.

Misal:

Tənliyi həll edin: .

Həll:

Bərabərlik təmin edilmədikdə, buna görə də. Tənliyi aşağıdakılara bölək:

Tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

Onun kökləri:

Gəlin tərs əvəz edək:

Nəticə tənlikləri həll edək:

Cavab: ; .

Başqa bir misal:

Bərabərsizliyi həll edin.

Həll:

Birbaşa əvəzetmə ilə biz əmin oluruq ki, bu bərabərsizliyin həllinə daxil deyil. Hər kəsrin payını və məxrəcini aşağıdakılara bölün:

İndi dəyişənin dəyişdirilməsi göz qabağındadır: .

Sonra bərabərsizlik aşağıdakı formanı alacaq:

y-ni tapmaq üçün interval metodundan istifadə edirik:

hamının qarşısında, çünki

hamının qarşısında, çünki

Beləliklə, bərabərsizlik aşağıdakılara bərabərdir:

hamının gözü qarşısında, çünki...

Bu o deməkdir ki, bərabərsizlik aşağıdakılara ekvivalentdir: .

Beləliklə, bərabərsizlik məcmuəyə ekvivalent olur:

Cavab: .

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi- tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli üçün ən vacib üsullardan biridir.

Nəhayət, sizə bir neçə vacib məsləhət verəcəyəm:

DƏYİŞƏNLƏRİN DƏYİŞMƏSİ. XÜLASƏ VƏ ƏSAS FORMULLAR.

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi- mürəkkəb tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli üsulu, ilkin ifadəni sadələşdirməyə və onu standart formaya gətirməyə imkan verir.

Dəyişən dəyişdirmə növləri:

1. Gücün dəyişdirilməsi: bir qüdrətə yüksəldilmiş bəzi naməlum olaraq alınır - .
2. Fraksiyalı-rasional əvəz: naməlum dəyişəni ehtiva edən hər hansı bir əlaqə kimi qəbul edilir - , burada və müvafiq olaraq n və m dərəcələrinin çoxhədləridir.
3. Polinomun dəyişdirilməsi: naməlum olan bütün ifadə belə qəbul edilir - və ya, burada dərəcə çoxhədlidir.

Sadələşdirilmiş tənliyi/bərabərsizliyi həll etdikdən sonra tərs əvəzetmə etmək lazımdır.

Ümumi halı - qeyri-müəyyən inteqralda dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodunu nəzərdən keçirməyə davam edək.

Misal 5

Nümunə olaraq dərsin əvvəlində baxdığımız inteqralı götürdüm. Artıq dediyimiz kimi, inteqralı həll etmək üçün cədvəl formulunu bəyəndik və bütün məsələni ona endirmək istərdik.

Əvəzetmə metodunun arxasında duran fikir mürəkkəb ifadəni (və ya bəzi funksiyanı) tək hərflə əvəz edin.
Bu halda yalvarır:
İkinci ən məşhur əvəz məktubu məktubdur.
Prinsipcə, başqa hərflərdən istifadə edə bilərsiniz, amma biz yenə də ənənələrə sadiq qalacağıq.

Belə ki:
Ancaq onu əvəz edəndə biz qalırıq! Yəqin ki, çoxları təxmin edirdi ki, əgər yeni dəyişənə keçid edilirsə, onda yeni inteqralda hər şey hərflə ifadə edilməlidir və orada ümumiyyətlə diferensial üçün yer yoxdur.
Məntiqi nəticə ondan ibarətdir ki, bu lazımdır yalnız asılı olan bəzi ifadəyə çevrilir.

Aksiya aşağıdakı kimidir. Əvəzedicini seçdikdən sonra bu nümunədə diferensial tapmalıyıq. Diferensiallarla, məncə, hamı artıq dostluq qurub.

O vaxtdan bəri

Diferensialı sökdükdən sonra son nəticəni mümkün qədər qısa şəkildə yenidən yazmağı məsləhət görürəm:
İndi mütənasiblik qaydalarına əsasən, ehtiyacımızı ifadə edirik:

Nəhayət:
Beləliklə:

Və bu artıq ən cədvəl inteqralıdır ( inteqrallar cədvəli, təbii olaraq, dəyişən üçün də doğrudur).

Nəhayət, geriyə dəyişdirilməsini həyata keçirmək qalır. Bunu xatırlayaq.

Hazır.

Baxılan nümunənin son dizaynı belə görünməlidir:

“

Əvəz edək:

“

İşarənin heç bir riyazi mənası yoxdur, bu o deməkdir ki, biz ara izahatlar üçün həlli dayandırmışıq.

Bir notebookda bir nümunə hazırlayarkən, tərs əvəzləməni sadə bir qələmlə qeyd etmək daha yaxşıdır.

Diqqət! Aşağıdakı nümunələrdə diferensialın tapılması ətraflı təsvir edilməyəcəkdir.

İndi ilk həlli xatırlamağın vaxtı gəldi:

Fərq nədir? Prinsipial fərq yoxdur. Əslində eyni şeydir. Ancaq tapşırığın dizaynı nöqteyi-nəzərindən funksiyanın diferensial işarəsi altında toplanması üsulu daha qısadır..

sual yaranır. Əgər birinci üsul daha qısadırsa, niyə əvəzetmə üsulundan istifadə olunur? Fakt budur ki, bir sıra inteqrallar üçün funksiyanı diferensialın işarəsinə "uyğunlaşdırmaq" o qədər də asan deyil.

Misal 6

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Gəlin bir əvəz edək: (burada başqa bir əvəz düşünmək çətindir)

Gördüyünüz kimi, dəyişdirmə nəticəsində orijinal inteqral əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirildi - adi güc funksiyasına endirildi. Bu əvəzetmənin məqsədidir - inteqralı sadələşdirmək.

Tənbəl qabaqcıl insanlar funksiyanı diferensial işarənin altına toplamaqla bu inteqralı asanlıqla həll edə bilərlər:

Başqa bir şey budur ki, belə bir həll açıq şəkildə bütün tələbələr üçün deyil. Bundan əlavə, artıq bu nümunədə funksiyanın diferensial işarəsi altında toplanması metodunun istifadəsi qərarda çaşqınlıq riskini əhəmiyyətli dərəcədə artırır.

Misal 7

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.

Misal 8

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Yerdəyişmə:
Bunun nəyə çevriləcəyini görmək qalır

Yaxşı, ifadə etmişik, bəs sayda “X” qalsa nə edək?!
Zaman-zaman inteqralların həlli zamanı aşağıdakı hiylə ilə qarşılaşırıq: eyni əvəzdən ifadə edəcəyik!

Misal 9

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Cavab dərsin sonundadır.

Misal 10

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Şübhəsiz ki, bəzi insanlar mənim axtarış cədvəlimdə dəyişən dəyişdirmə qaydasının olmadığını gördülər. Bu qəsdən edilib. Qayda yuxarıdakı nümunələrdə açıq şəkildə görünmədiyi üçün izahat və anlamada çaşqınlıq yaradar.

İndi dəyişən əvəzetmə metodundan istifadənin əsas müddəaları haqqında danışmaq vaxtıdır: inteqralda hansısa funksiya olmalıdır və onun törəməsi : (funksiyalar məhsulda olmaya bilər)

Bu baxımdan inteqralları taparkən çox vaxt törəmələr cədvəlinə baxmaq lazımdır.

Baxılan misalda payın dərəcəsinin məxrəcin dərəcəsindən bir az olduğunu görürük. Törəmələr cədvəlində dərəcəni yalnız bir azaldan düsturu tapırıq. Və bu o deməkdir ki, əgər siz onu məxrəc kimi təyin etsəniz, o zaman payın yaxşı bir şeyə çevrilmə şansı yüksəkdir.

Yerdəyişmə:

Yeri gəlmişkən, funksiyanı diferensial işarənin altına daxil etmək o qədər də çətin deyil:

Qeyd etmək lazımdır ki, kimi fraksiyalar üçün bu hiylə artıq işləməyəcək (daha doğrusu, yalnız dəyişdirmə texnikasını tətbiq etmək lazım olacaq). Siz sinifdə bəzi fraksiyaları birləşdirməyi öyrənə bilərsiniz. Bəzi Fraksiyaların İnteqrasiya Edilməsi.

Eyni operadan müstəqil həllər üçün daha bir neçə tipik nümunə:

Misal 11

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Misal 12

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Dərsin sonunda həllər.

Misal 13

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Törəmələr cədvəlinə baxırıq və qövs kosinusumuzu tapırıq: . İnteqranımızda qövs kosinusu və onun törəməsinə bənzər bir şey var.

Ümumi qayda:
Arxada funksiyanın özünü ifadə edirik(və onun törəməsi deyil).

Bu halda: . İnteqranın qalan hissəsinin nəyə çevriləcəyini öyrənmək qalır.

Bu nümunədə mən tapıntını ətraflı təsvir edəcəyəm, çünki bu, mürəkkəb bir funksiyadır.

Və ya qısaca:
Mütənasiblik qaydasından istifadə edərək bizə lazım olan qalığı ifadə edirik:

Beləliklə:

Burada funksiyanı diferensial işarə altında toplamaq artıq o qədər də asan deyil.

Misal 14

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Müstəqil həll üçün bir nümunə. Cavab çox yaxındır.

Diqqətli oxucular görəcəklər ki, mən triqonometrik funksiyaları olan bir neçə nümunə nəzərdən keçirmişəm. Və bu təsadüfi deyil, çünki altında triqonometrik funksiyaların inteqralları ayrıca dərs verilir. Üstəlik, bu dərs dəyişəni əvəz etmək üçün bəzi faydalı təlimatları təqdim edir, bu, həmişə olmayan və müəyyən bir inteqralda hansı növ dəyişdirmə edilməli olduğunu dərhal başa düşməyən dummilər üçün xüsusilə vacibdir. Məqalədə bəzi dəyişdirmə növlərini də görə bilərsiniz Müəyyən inteqral. Həll nümunələri.

Daha təcrübəli tələbələr tipik əvəzetmə ilə tanış ola bilərlər irrasional funksiyaları olan inteqrallarda. Kökləri birləşdirərkən əvəzetmə xüsusidir və onun texnikası bu dərsdə müzakirə etdiyimizdən fərqlidir.

Sənə uğurlar arzu edirəm!

Misal 3:Həll :

Misal 4:Həll :

Misal 7:Həll :

Misal 9:Həll :

Yerdəyişmə:

Misal 11:Həll :

Əvəz edək:

Misal 12:Həll :

Əvəz edək:

Misal 14:Həll :

Əvəz edək:

Parçalar üzrə inteqrasiya. Həll nümunələri

Birdaha salam. Bu gün dərsdə hissələrə görə inteqrasiya etməyi öyrənəcəyik. Hissələr üzrə inteqrasiya üsulu inteqral hesablamanın təməl daşlarından biridir. Testlər və ya imtahanlar zamanı tələbələrdən demək olar ki, həmişə aşağıdakı inteqral növlərini həll etmələri xahiş olunur: ən sadə inteqral (məqaləyə baxQeyri-müəyyən inteqral. Həll nümunələri ) və ya dəyişəni əvəz etməklə inteqral (məqaləyə baxQeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu ) və ya inteqral yalnız açıqdır hissələr üsulu ilə inteqrasiya.

Həmişə olduğu kimi, əlinizdə olmalıdır: İnteqrallar cədvəli Və Törəmələr cədvəli. Əgər sizdə hələ də bunlar yoxdursa, lütfən vebsaytımın saxlama otağına daxil olun: Riyazi düsturlar və cədvəllər. Mən təkrarlamaqdan yorulmayacağam - hər şeyi çap etmək daha yaxşıdır. Bütün materialı ardıcıl, sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam;

Hissələr üzrə inteqrasiya üsulu hansı problemi həll edir? Hissələr metodu ilə inteqrasiya çox vacib bir problemi həll edir, bu, cədvəldə olmayan bəzi funksiyaları birləşdirməyə imkan verir; iş funksiyalar, bəzi hallarda isə hətta quotients. Xatırladığımız kimi, rahat bir formula yoxdur: . Ancaq bu var: – şəxsən hissələr üzrə inteqrasiya düsturu. Bilirəm, bilirəm, tək sənsən - bütün dərs boyu onunla işləyəcəyik (indi daha asandır).

4) , – tərs triqonometrik funksiyalar (“tağlar”), “tağlar” bəzi çoxhədli ilə vurulur.

Bəzi fraksiyalar da hissə-hissə götürülüb, müvafiq misalları da ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Loqarifmlərin inteqralları

Misal 1

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Klassik. Zaman zaman bu inteqral cədvəllərdə tapıla bilər, lakin hazır cavabdan istifadə etmək məqsədəuyğun deyil, çünki müəllimdə yaz vitamin çatışmazlığı var və ağır and içəcək. Çünki nəzərdən keçirilən inteqral heç bir halda cədvəlli deyil - hissələrə bölünür. Qərar veririk:

Aralıq izahatlar üçün həlli dayandırırıq.

İnteqrasiyadan hissələr düsturundan istifadə edirik:

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Təhsil vəzifələri:

• şagirdlərə əvəzetmə yolu ilə inteqrasiya metodundan istifadə etməyi öyrətmək;
• funksiyaların inteqrasiyasından istifadə bacarıqlarını inkişaf etdirməyə davam etmək;
• problem həll etməklə riyaziyyata marağı inkişaf etdirməyə davam etmək;
• təlim prosesinə şüurlu münasibət bəsləmək, biliyin keyfiyyətinə görə məsuliyyət hissi aşılamaq, tapşırıqların həlli və tərtibi prosesində özünə nəzarəti həyata keçirmək;
• xatırladaq ki, yalnız qeyri-müəyyən inteqralın hesablanması üçün alqoritmlərdən şüurlu istifadə şagirdlərə öyrənilən mövzunu keyfiyyətcə mənimsəməyə imkan verəcək.

Dərslərin verilməsi:

• əsas inteqrasiya düsturlarının cədvəli;
• test işi üçün tapşırıq kartları.

Tələbə bilməlidir:əvəzetmə üsulu ilə qeyri-müəyyən inteqralın hesablanması alqoritmi.

Tələbə bacarmalıdır:əldə edilmiş bilikləri qeyri-müəyyən inteqralların hesablanmasında tətbiq etmək.

Şagirdlərin idrak fəaliyyətinin motivasiyası.

Müəllim məlumat verir ki, birbaşa inteqrasiya üsulu ilə yanaşı qeyri-müəyyən inteqralların hesablanması üçün başqa üsullar da mövcuddur ki, onlardan biri də əvəzetmə üsuludur. Bu, başqa inteqrasiya dəyişəninə keçməklə inteqralı çevirməkdən ibarət mürəkkəb funksiyanın inteqrasiyasının ən geniş yayılmış üsuludur.

Dərsin gedişatı

I. Təşkilat vaxtı.

II. Ev tapşırığını yoxlamaq.

Frontal sorğu:

III. Şagirdlərin əsas biliklərinin təkrarı.

1) Əsas inteqrasiya düsturları cədvəlini təkrarlayın.

2) Birbaşa inteqrasiya metodunun nə olduğunu təkrarlayın.

Birbaşa inteqral inteqralın eyni çevrilmələri və qeyri-müəyyən inteqralın xassələrinin tətbiqi yolu ilə verilmiş inteqralın bir və ya bir neçə cədvəl inteqralına endirilməsi üsuludur.

IV. Yeni materialın öyrənilməsi.

Verilmiş inteqralı birbaşa inteqrasiya yolu ilə hesablamaq həmişə mümkün olmur və bəzən bu, böyük çətinliklərlə əlaqələndirilir. Bu hallarda başqa üsullardan istifadə olunur. Ən təsirli üsullardan biri inteqrasiya dəyişəninin dəyişdirilməsi və ya dəyişdirilməsi üsuludur. Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, yeni inteqrasiya dəyişənini təqdim etməklə verilmiş inteqralı yeni inteqrala endirmək olar, onu birbaşa qəbul etmək nisbətən asandır. Dəyişən dəyişdirildikdən sonra inteqral sadələşirsə, əvəzetmənin məqsədinə nail olunub. Əvəzetmə üsulu ilə inteqrasiya düstur əsasında aparılır

Bu üsulu nəzərdən keçirək.

Hesablama alqoritmiəvəzetmə üsulu ilə qeyri-müəyyən inteqral:

1. Bu inteqralın hansı cədvəl inteqralına endirildiyini müəyyənləşdirin (əgər lazım gələrsə, inteqran ilk dəfə çevrildikdən sonra).
2. İnteqranın hansı hissəsini yeni dəyişənlə əvəz edəcəyini müəyyənləşdirin və bu əvəzetməni yazın.
3. Qeydin hər iki hissəsinin diferensialını tapın və köhnə dəyişənin (və ya bu diferensialı ehtiva edən ifadənin) diferensialını yeni dəyişənin diferensialı ilə ifadə edin.
4. İnteqral altında əvəzetmə edin.
5. Yaranan inteqralı tapın.
6. Nəticədə, tərs dəyişdirmə aparılır, yəni. köhnə dəyişənə keçin. Nəticəni fərqləndirmə yolu ilə yoxlamaq faydalıdır.

Nümunələrə baxaq.

Nümunələr.İnteqralları tapın:

1) )4

Əvəzetməni təqdim edək:

Bu bərabərliyi fərqləndirərək, biz:

V. Tipik nümunələri həll edərkən biliklərin tətbiqi.

VI. Bilik, bacarıq və bacarıqların müstəqil tətbiqi.

Seçim 1

İnteqralları tapın:

Seçim 2

İnteqralları tapın:

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

VIII. Ev tapşırığı:

G.N. Yakovlev, 1-ci hissə, §13.2, bənd 2, No 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

Verilmiş inteqralı birbaşa inteqralla hesablayın

Həmişə nəticə vermir. Ən təsirli üsullardan biridir

inteqrasiya dəyişəninin dəyişdirilməsi və ya dəyişdirilməsi üsuludur.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, yeni inteqrasiya dəyişənini təqdim etməklə verilmiş inteqralı aşağı salmaq olar.

birbaşa inteqrasiya yolu ilə qəbul edilən yeni inteqrala.

Bu üsulu nəzərdən keçirin:

Davamlı funksiya olsun

tapmaq lazımdır: (1)

İnteqrasiya dəyişənini dəyişək:

burada φ (t) davamlı törəmə olan monoton funksiyadır

və f(φ(t)) mürəkkəb funksiyası vardır.

F (x) = F(φ (t)) kompleks diferensiasiya düsturunun tətbiqi

funksiyaları əldə edirik:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Lakin F′(x) = f (x) = f (φ (t)), deməli

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Beləliklə, F(φ (t)) funksiyası funksiyanın əks törəməsidir

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), buna görə də:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Nəzərə alsaq ki, F (φ (t)﴿ = F (x), (1) və (4) dən əvəzedici düstur aşağıdakı kimidir.

qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Formal olaraq (5) düsturu x-i φ (t) və dx-i φ′ (t)dt ilə əvəz etməklə əldə edilir.

Formula (5) uyğun olaraq inteqrasiyadan sonra alınan nəticə aşağıdakı kimidir

x dəyişəninə qayıdın. Bu həmişə mümkündür, çünki üstünlük verilir

Bundan əlavə, x = φ (t) funksiyası monotondur.

Əvəzetmənin uğurlu seçimi adətən məlum səyləri əhatə edir.

ness. Onlara qalib gəlmək üçün diferensiallaşdırma texnikasına yiyələnmək lazımdır

sitatlar və cədvəl inteqrallarını yaxşı bilmək.

Ancaq yenə də bir sıra ümumi qaydalar və bəzi texnikalar qura bilərsiniz

inteqrasiya.

Əvəzetmə yolu ilə inteqrasiya qaydaları:

1. Bu inteqralın hansı cədvəl inteqralına endirildiyini müəyyən edin (lazım olduqda inteqral ifadəsini çevirdikdən sonra).

2. İnteqral funksiyasının hansı hissəsinin dəyişdirilməsi lazım olduğunu müəyyən edin

yeni dəyişən və bu əvəzi yazın.

3. Yazının hər iki hissəsinin diferensialını tapın və diferensialını ifadə edin

köhnə dəyişənin yığımı (və ya bu fərqi ehtiva edən ifadə.

regional) yeni dəyişənin diferensiallanması vasitəsilə.

4. İnteqral altında əvəzetmə edin.

5. Nəticə inteqralı tapın.

6. Nəticədə köhnə dəyişənə keçirlər.

Əvəzetmə üsulu ilə inteqralların həlli nümunələri:

1. Tapın: ∫ x²(3+2x) dx

Həll:

əvəzini 3+2x = t edək

Əvəzetmənin hər iki tərəfinin diferensialını tapaq:

6x dx = dt, haradan

Beləliklə:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Əvəzetmədən t-ni ifadəsi ilə əvəz edərək, əldə edirik:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Həll:

= = ∫ e = e + C = e + C

Həll:

Həll:

Həll:

Müəyyən inteqral anlayışı.

Arqumentdən -ə dəyişdikdə hər hansı bir antitörəmə funksiyası üçün qiymətlər fərqi a-dan b-ə qədər diapazonda bu funksiyanın müəyyən inteqralı adlanır və işarələnir:

a və b inteqrasiyanın aşağı və yuxarı həddi adlanır.

Müəyyən inteqralı hesablamaq üçün sizə lazımdır:

1. Uyğun qeyri-müəyyən inteqralı tapın

2. X-in yerinə yaranan ifadəyə əvvəlcə inteqrasiyanın yuxarı həddi, sonra isə aşağı həddi - a.

3. Əvəzetmənin birinci nəticəsindən ikincini çıxarın.

Qısaca, bu qayda belə düsturlar şəklində yazılır:

Bu düstur Nyuton-Leybniz düsturu adlanır.

Müəyyən inteqralın əsas xassələri:

1. , burada K=const

3. Əgər , onda

4. Funksiya , burada , intervalında mənfi deyilsə, onda

Köhnə inteqrasiya dəyişənini müəyyən inteqralda yenisi ilə əvəz edərkən köhnə inteqrasiya hədlərini yeniləri ilə əvəz etmək lazımdır. Bu yeni limitlər seçilmiş əvəzetmə ilə müəyyən edilir.

Müəyyən inteqralın tətbiqi.

Əyri, x oxu və iki düz xətt ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsi Və düsturla hesablanır:

İşarəsini x oxu və iki düz xətt ilə dəyişdirməyən əyri ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin x oxu ətrafında fırlanması nəticəsində əmələ gələn cismin həcmi Və düsturla hesablanır:

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək bir sıra fiziki problemləri də həll edə bilərsiniz.

Misal üçün:

Düzxətli hərəkət edən cismin sürəti t zamanının məlum funksiyasıdırsa, bu cismin t = t 1 vaxtından t = t 2 zamanına qədər keçdiyi yol S düsturla müəyyən edilir:

Dəyişən qüvvə S yolunun məlum funksiyasıdırsa (qüvvənin istiqamətinin dəyişmədiyi güman edilir), onda bu qüvvənin -dən -ə gedən yolda yerinə yetirdiyi iş A düsturla müəyyən edilir:

Nümunələr:

1. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın:

y = ; y = (x-2) 2 ; 0x.

Həll:

a) Funksiyaların qrafiklərini quraq: y = ; y = (x-2) 2

b) Sahəsi hesablanmalı olan rəqəmi müəyyənləşdirin.

c) Tənliyi həll etməklə inteqrasiyanın hədlərini təyin edin: = (x-2) 2 ; x = 1;

d) Verilmiş fiqurun sahəsini hesablayın:

S = dx + 2 dx = 1 vahid 2

2. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın:

Y = x 2; x = y 2 .

Həll:

x 2 = ; x 4 = x ;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = vahid 2

3. 0x oxu ətrafında xətlərlə hüdudlanmış fiqurun fırlanması ilə alınan cismin həcmini hesablayın: y = ; x = 1.

Həll:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 vahid. 3

Ev tapşırığı riyaziyyat üzrə test
Tapşırıqlar üçün seçimlər.

Seçim №1

y = (x + 1) 2 ; y = 1 – x ; 0x

Seçim № 2

1. Tənliklər sistemini üç yolla həll edin:

2. Dəyişənləri dəyişdirərək inteqralları hesablayın:

3. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın:

y = 6 – x ; y = x 2 + 4

Seçim №3.

1. Tənliklər sistemini üç yolla həll edin:

2. Dəyişənləri dəyişdirərək inteqralları hesablayın:

3. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın:

y = - x 2 + 5; y = x + 3

Seçim nömrəsi 4.

1. Tənliklər sistemini üç yolla həll edin:

2. Dəyişənləri dəyişdirərək inteqralları hesablayın:

3. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın:

y = x 2; x = 3; öküz

Seçim №5.

1. Tənliklər sistemini üç yolla həll edin:

2. Dəyişənləri dəyişdirərək inteqralları hesablayın:

3. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın:

y = 3 + 2x – x 2 ; öküz

Seçim nömrəsi 6.

1. Tənliklər sistemini üç yolla həll edin:

2. Dəyişənləri dəyişdirərək inteqralları hesablayın:

3. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın:

y = x + 6; y = 8 + 2x – x 2

Seçim № 7

1. Tənliklər sistemini üç yolla həll edin:

2. Dəyişənləri dəyişdirərək inteqralları hesablayın:

3. Xətlərlə hüdudlanmış fiqurun Ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn bədənin həcmini hesablayın:

y = sin x ; y = 0; x = 0; x = π

Seçim № 8.

1. Tənliklər sistemini üç yolla həll edin:

2. Dəyişənləri dəyişdirərək inteqralları hesablayın:

Biblioqrafiya

1. Yazılı D.T. Ali riyaziyyat üzrə mühazirə qeydləri Hissə 1, 2. M. İRİS PRESS, 2006.

2. Qriqoryev V.P., Dubinski Yu.A. Ali riyaziyyatın elementləri. M. Akademiyası, 2008

3. Vıqodski M.Ya. Ali riyaziyyat kitabçası. M. Elm, 2001

4. Şipaçev V.S. Ali riyaziyyat. M. Ali məktəb, 2005

5. Şipaçev V.S. Problem kitabı ali riyaziyyat. M. Ali məktəb, 2005